a) Tìm \(n \in \mathbb{N}\) để \(\left( {{n^5} + 1} \right) \vdots \left( {{n^3} + 1} \right)\). b) Giải bài

Câu hỏi số 559899:

Vận dụng

a) Tìm \(n \in \mathbb{N}\) để \(\left( {{n^5} + 1} \right) \vdots \left( {{n^3} + 1} \right)\).

b) Giải bài toán trên nếu \(n \in \mathbb{Z}\) .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559899

Phương pháp giải

+ Để chứng minh \(A\left( n \right) \vdots m\) ta phân tích \(A\left( n \right)\) thành nhân tử \(m\) hoặc là bội của \(m\).

+ Với \(m\) là số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại bội của \(m\).

Giải chi tiết

Giả sử có: \({n^5}\; + {\rm{ }}1\; \vdots {n^3} + {\rm{ }}1\;\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {n^2}\left( {{n^3} + {\rm{ }}1} \right){\rm{ }}-\;\left( {{n^2}-{\rm{ }}1} \right)\; \vdots {n^3} + {\rm{ }}1\\ \Leftrightarrow \;\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)\; \vdots {n^3} + {\rm{ }}1\;\\ \Leftrightarrow \;\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right) \vdots \;\left( {n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\left( {{n^2} - {\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)\;\end{array}\)

\( \Leftrightarrow n{\rm{ }} - {\rm{ }}1\; \vdots {n^2} - {\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1\) (Vì \(n + 1 \ne 0\))

a) Nếu \(n = 1\) thì \(0 \vdots 1\)

Nếu \(n > 1\) thì \(n - 1 < n\left( {n - 1} \right) + 1 < {n^2} - n + 1\) \( \Rightarrow \) Không thể xảy ra trường hợp \(n - 1 \vdots {n^2} - n + 1\)

Vậy giá trị của \(n\) tìm được là \(n = 1\)

b) Ta có: \(n{\rm{ }} - {\rm{ }}1\; \vdots {n^2} - {\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1\; \Leftrightarrow n\left( {n{\rm{ }} - {\rm{ }}1} \right)\; \vdots {n^2} - {\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1 \Leftrightarrow \;\left( {{n^2} - {\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }}} \right){\rm{ }} - {\rm{ }}1\; \vdots {n^2} - {\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1\)

\( \Rightarrow \;1 \vdots \;{n^2} - {\rm{ }}n{\rm{ }} + {\rm{ }}1\). Có hai trường hợp xảy ra:

+ \({n^2} - n + 1 = 1 \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 1\end{array} \right.\) (thoả mãn đề bài)

+ \({n^2} - n + 1 = - 1 \Leftrightarrow {n^2} - n + 2 = 0\) (Vô nghiệm)

Vậy nghiệm của bài toán khi \(n \in \mathbb{Z}\) là \(S = \left\{ {0;1} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link