a) Tìm số nguyên \(n\) sao cho: \(A = \left( {{n^5} - n} \right) \vdots 30\) b) Cho \(a,b \in \mathbb{Z}\). Chứng

Câu hỏi số 559900:

Vận dụng

a) Tìm số nguyên \(n\) sao cho: \(A = \left( {{n^5} - n} \right) \vdots 30\)

b) Cho \(a,b \in \mathbb{Z}\). Chứng minh rằng: \({a^3}b - a{b^3} \vdots 6\)

c) Cho \(a,b \in \mathbb{Z}\). Chứng minh rằng: \({a^5}b - a{b^5} \vdots 30\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559900

Phương pháp giải

+ Để chứng minh \(A\left( n \right) \vdots m\) ta phân tích \(A\left( n \right)\) thành nhân tử \(m\) hoặc là bội của \(m\).

+ Với \(m\) là số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại bội của \(m\).

+ Chia hết cho \(6\): chia hết cho \(2\) ; chia hết cho \(3\).

Giải chi tiết

a) \(A = {n^5} - n \)

\(= n\left( {{n^4} - 1} \right) \)

\(= n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) \)

\(= \left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - 4 + 5} \right) \)

\(= \left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\left[ {\left( {{n^2} - 4} \right) + 5} \right]\)

\( = \left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - 4} \right) + \left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right).5\)

Xét \(\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - 4} \right) = \left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\left( {n - 2} \right)\left( {n + 2} \right)\)

Đây là tích của năm số tự nhiên liên tiếp nên nó chia hết cho \(2;3;5\)

Mặt khác, ta có \(\left( {2;3;5} \right) = 1\) nên \(\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - 4} \right) \vdots \left( {2.3.5} \right) \)

\(\Leftrightarrow \left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} - 4} \right) \vdots 30\)

Xét \(\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right).5\), ta có:

\(\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\) là tích của ba số tự nhiên liên tiếp nên \(\left( {n - 1} \right).n.\left( {n + 1} \right)\) chia hết cho \(2\) và \(3\)

Vậy \(A \vdots 30\)

b) Ta có: \({a^3}b - a{b^3}\)

\(\begin{array}{l} = {a^3}b - ab - a{b^3} + ab\\ = b\left( {{a^3} - a} \right) - a\left( {{b^3} - b} \right)\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{a^3} - a} \right) \vdots 6\\\left( {{b^3} - b} \right) \vdots 6\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b\left( {{a^3} - a} \right) \vdots 6\\a\left( {{b^3} - b} \right) \vdots 6\end{array} \right. \Rightarrow b\left( {{a^3} - a} \right) - a\left( {{b^3} - b} \right) \vdots 6\) (đpcm)

c) Ta có: \({a^5}b - a{b^5}\)

\(\begin{array}{l} = {a^5}b - ab - a{b^5} + ab\\ = \left( {{a^5}b - ab} \right) - \left( {a{b^5} - ab} \right)\\ = b\left( {{a^5} - a} \right) - a\left( {{b^5} - b} \right)\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {{a^5} - a} \right) \vdots 30\\\left( {{b^5} - b} \right) \vdots 30\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b\left( {{a^5} - a} \right) \vdots 30\\a\left( {{b^5} - b} \right) \vdots 30\end{array} \right. \Rightarrow b\left( {{a^5} - a} \right) - a\left( {{b^5} - b} \right) \vdots 30\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link