Tìm số nguyên \(n\) sao choa) \(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1 \vdots 2n - 1\)b) \({n^4} - 2{n^3} + 2{n^2} - 2n + 1 \vdots

Câu hỏi số 559902:

Vận dụng

Tìm số nguyên \(n\) sao cho

a) \(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1 \vdots 2n - 1\)

b) \({n^4} - 2{n^3} + 2{n^2} - 2n + 1 \vdots {n^4} - 1\)

c) \({n^3} - {n^2} + 2n + 7 \vdots {n^2} + 1\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559902

Phương pháp giải

+ Để chứng minh \(A\left( n \right) \vdots m\) ta phân tích \(A\left( n \right)\) thành nhân tử \(m\) hoặc là bội của \(m\).

+ Với \(m\) là số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại bội của \(m\).

Giải chi tiết

a) \(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1 = \left( {{n^2} + n + 4} \right)\left( {2n - 1} \right) + 5\)

Để \(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1 \vdots 2n - 1\) thì \(5 \vdots \left( {2n - 1} \right) \Leftrightarrow \left( {2n - 1} \right) \in U\left( 5 \right) = \left\{ { - 5; - 1;1;5} \right\}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2n - 1 = - 5\\2n - 1 = - 1\\2n - 1 = 1\\2n - 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 2\\n = 0\\n = 1\\n = 3\end{array} \right.\)

Vậy khi \(n \in \left\{ { - 2;0;1;3} \right\}\) thì \(2{n^3} + {n^2} + 7n + 1 \vdots 2n - 1\)

b) Đặt \(A = {n^4} - 2{n^3} + 2{n^2} - 2n + 1\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{n^4} - {n^3}} \right) - \left( {{n^3} - {n^2}} \right) + \left( {{n^2} - n} \right) - \left( {n - 1} \right)\\ = {n^3}\left( {n - 1} \right) - {n^2}\left( {n - 1} \right) + n\left( {n - 1} \right) - \left( {n - 1} \right)\\ = \left( {n - 1} \right)\left( {{n^3} - {n^2} + n - 1} \right)\\ = {\left( {n - 1} \right)^2}\left( {{n^2} + 1} \right)\end{array}\)

\(B = {n^4} - 1 = \left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)\)

Điều kiện để \(A:B\) có nghĩa là \(\left\{ \begin{array}{l}n - 1 \ne 0\\n + 1 \ne 0\end{array} \right. \Rightarrow n \ne \pm 1\)

Để \(A \vdots B \Leftrightarrow n - 1 \vdots n + 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {n + 1} \right) - 2 \vdots n + 1\\ \Leftrightarrow n + 1 \in U\left( 2 \right) = \left\{ { - 2; - 1;1;2} \right\}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n + 1 = - 2\\n + 1 = - 1\\n + 1 = 1\\n + 1 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = - 3\left( C \right)\\n = - 2\left( C \right)\\n = 0\left( C \right)\\n = 1\left( L \right)\end{array} \right.\)

Vậy khi \(n \in \left\{ { - 3; - 2;0} \right\}\) thì \({n^4} - 2{n^3} + 2{n^2} - 2n + 1 \vdots {n^4} - 1\)

c) \({n^3} - {n^2} + 2n + 7 = \left( {{n^2} + 1} \right)\left( {n - 1} \right) + n + 8\)

Để \({n^3} - {n^2} + 2n + 7 \vdots {n^2} + 1\) thì \(n + 8 \vdots {n^2} + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( {n + 8} \right)\left( {n - 8} \right) \vdots {n^2} + 1\\ \Rightarrow {n^2} - 64 \vdots {n^2} + 1\\ \Rightarrow \left( {{n^2} + 1} \right) - 65 \vdots {n^2} + 1\\ \Rightarrow - 65 \vdots {n^2} + 1\\ \Rightarrow 65 \vdots {n^2} + 1\\ \Rightarrow {n^2} + 1 \in U\left( {65} \right) = \left\{ {1;5;13;65} \right\}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{n^2} + 1 = 1\\{n^2} + 1 = 5\\{n^2} + 1 = 13\\{n^2} + 1 = 65\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = \pm 2\\n = \pm 8\end{array} \right.\). Thử lại ta có \(\left[ \begin{array}{l}n = 0\\n = 2\\n = 8\end{array} \right.\) thoả mãn

Vậy khi \(n \in \left\{ {0;2;8} \right\}\) thì \({n^3} - {n^2} + 2n + 7 \vdots {n^2} + 1\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link