a) Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{n^5}}}{5} + \dfrac{{{n^3}}}{3} + \dfrac{{7n}}{{15}}\) là số nguyên với mọi

Câu hỏi số 559903:

Vận dụng cao

a) Chứng minh rằng: \(\dfrac{{{n^5}}}{5} + \dfrac{{{n^3}}}{3} + \dfrac{{7n}}{{15}}\) là số nguyên với mọi \(n \in \mathbb{Z}\).

b) Chứng minh với \(n\) chẵn thì \(\dfrac{n}{{12}} + \dfrac{{{n^2}}}{8} + \dfrac{{{n^3}}}{{24}}\) là số nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559903

Phương pháp giải

+ Để chứng minh \(A\left( n \right) \vdots m\) ta phân tích \(A\left( n \right)\) thành nhân tử \(m\) hoặc là bội của \(m\).

+ Với \(m\) là số nguyên liên tiếp bao giờ cũng tồn tại bội của \(m\).

Giải chi tiết

a) Ta có: \(\dfrac{{7n}}{{15}} = n - \dfrac{{8n}}{{15}} = n - \dfrac{n}{5} - \dfrac{n}{3} \Rightarrow \dfrac{{{n^5}}}{5} + \dfrac{{{n^3}}}{3} + \dfrac{{7n}}{{15}} = \dfrac{{{n^5} - n}}{5} + \dfrac{{{n^3} - n}}{3} + n\)

+ \({n^5} - n = n\left( {{n^4} - 1} \right) = n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) = n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)\)

Vì \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right)\) là ba số nguyên liên tiếp nên \(n\left( {n - 1} \right)\left( {n + 1} \right) \vdots 5 \Rightarrow \left( {{n^5} - n} \right) \vdots 5\)

Chứng minh tương tự ta được \(\left( {{n^3} - n} \right) \vdots 3\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{n^5} - n}}{5} + \dfrac{{{n^3} - n}}{3} + n\) là một số nguyên

\( \Rightarrow \dfrac{{{n^5}}}{3} + \dfrac{{{n^3}}}{3} + \dfrac{{7n}}{{15}}\) là số nguyên với mọi \(n \in \mathbb{Z}\)

b) Giả sử \(n = 2m\left( {m \in \mathbb{Z}} \right)\), ta có:

\(\dfrac{n}{{12}} + \dfrac{{{n^2}}}{8} + \dfrac{{{n^3}}}{{24}} = \dfrac{m}{6} + \dfrac{{{m^2}}}{2} + \dfrac{{{m^3}}}{3} = \dfrac{{2{m^3} + 3{m^2} + m}}{6} = \dfrac{{m\left( {m + 1} \right)\left( {2m + 1} \right)}}{6}\)

Ta dễ dàng chứng minh được \(m\left( {m + 1} \right)\left( {2m + 1} \right) \vdots 6 \Rightarrow \dfrac{{m\left( {m + 1} \right)\left( {2m + 1} \right)}}{6}\) là số nguyên

\( \Rightarrow \dfrac{n}{{12}} + \dfrac{{{n^2}}}{8} + \dfrac{{{n^3}}}{{24}}\) là số nguyên (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link