a) Cho \(n\) là một số nguyên dương. Chứng minh rằng: \(C = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}} \vdots

Câu hỏi số 559904:

Vận dụng cao

a) Cho \(n\) là một số nguyên dương. Chứng minh rằng: \(C = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}} \vdots 5\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên \(n\), ta có: \({3^{{2^{4n + 1}}}} + 2 \vdots 11\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:559904

Phương pháp giải

Giả sử chứng minh \(A\left( n \right) \vdots P\) với \(n \ge a\left( 1 \right)\)

+ Bước 1: chứng minh (1) đúng với \(n = a\) tức là chứng minh \(A\left( a \right) \vdots P\)

+ Bước 2: Giả sử (1) đúng với \(n = k\) tức là chứng minh \(A\left( k \right) \vdots P\left( {k \ge a} \right)\)

Ta chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\) tức là chứng minh \(A\left( {k + 1} \right) \vdots P\)

+ Bước 3: Kết luận

Giải chi tiết

a) Xét với \(n = 1\), ta có: \(C = 10 \vdots 5 \Rightarrow \left( 1 \right)\) đúng với \(n = 1\).

Giả sử \(\left( 1 \right)\) đúng với \(n = k\), tức là: \(C = {7.2^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}} \vdots 5\)

Ta cần chứng minh (1) đúng với \(n = k + 1\), tức là ta cần chứng minh \(C = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}} \vdots 5\)

Ta có: \(C = {7.2^{2\left( {k + 1} \right) - 2}} + {3^{2\left( {k + 1} \right) - 1}} = {28.2^{2k - 2}} + {9.3^{2k - 1}} = 4\left( {{{7.2}^{2k - 2}} + {3^{2k - 1}}} \right) + {5.3^{2k - 1}} \vdots 5\)

\( \Rightarrow \left( 1 \right)\) đúng với \(n = k + 1\)

Vậy \(C = {7.2^{2n - 2}} + {3^{2n - 1}} \vdots 5\) với \(n\) là một số nguyên dương.

b) + Với \(n = 0\), ta có: \({3^{{2^{4.0 + 1}}}} + 2 = 11 \vdots 11 \Rightarrow \left( * \right)\) đúng với \(n = 0\)

+ Giả sử \(\left( * \right)\) đúng với \(n = k\), tức là \({3^{{2^{4k + 1}}}} + 2 \vdots 11\). Ta cần chứng minh với \(n = k + 1\) thì \({3^{{2^{4\left( {k + 1} \right) + 1}}}} + 2 \vdots 11\)

Thật vậy, với \(n = k + 1\), ta có:

\({3^{{2^{4\left( {k + 1} \right) + 1}}}} + 2 = {3^{{2^{4k + 5}}}} + 2 = {3^{{2^{\left( {4k + 1} \right).16}}}} + 2 = {\left( {{3^{{2^{4k + 1}}}} + 2} \right)^{16}} + 2 = {\left( {{3^{{2^{4k + 1}}}} + 2} \right)^{16}} - {2^{16}} + {2^{16}} + 2 \vdots {3^{{2^{4k + 1}}}} + 2\)

Vì \({3^{{2^{4k + 1}}}} + 2 \vdots 11 \Rightarrow {\left( {{3^{{2^{4k + 1}}}}} \right)^{16}} - {2^{16}} \vdots 11\)

Mặt khác \({2^{12}} + 2 = 2\left( {{2^{15}} + 1} \right) = 2.32769 \vdots 11\)

\( \Rightarrow {3^{{2^{4\left( {k + 1} \right) + 1}}}} + 2 \vdots 11 \Rightarrow {3^{{2^{4n + 1}}}} + 2 \vdots 11\) (đpcm)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link