Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2}

Câu hỏi số 560978:

Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2}\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} - 6x + m} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\). Có bao nhiêu số nguyên m thuộc đoạn [-2019;2019] để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {1 - x} \right|} \right)\) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\)?

A. 2012.

B. 2011.

C. 2009.

D. 2010.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560978

Phương pháp giải

Đạo hàm g(x) trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\), sử dụng tính chất của nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2 để biện luận dấu và đưa ra m.

Giải chi tiết

Ta có: \(g\left( x \right) = f\left( {\left| {1 - x} \right|} \right) = f\left( {1 - x} \right),\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)

Suy ra \(g'\left( x \right) = \left[ {f\left( {\left| {1 - x} \right|} \right)} \right]' = - f'\left( {1 - x} \right) = - {\left( {1 - x} \right)^2}\left( {1 - x - 2} \right)\left[ {{{\left( {1 - x} \right)}^2} - 6\left( {1 - x} \right) + m} \right]\)

\( = {\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right)\left[ {{x^2} + 4x + m - 5} \right]\)

Hàm số g(x) nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right) \Leftrightarrow g'\left( x \right) \le 0\) với mọi x < -1 (dấu " = " chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4x + m - 5 \ge 0\)với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) (vì\({\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x + 1} \right) < 0,\forall x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\))

\( \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} \ge 9 - m\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\)\( \Leftrightarrow 9 - m \le 0 \Leftrightarrow m \ge 9\).

Do m nguyên và \(m \in \)[-2019; 2019] nên suy ra \(m \in \left\{ {9;10;11;...;2019} \right\}\).

Vậy có 2011 giá trị nguyên của m thỏa mãn điểu kiện.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.