Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2), C(1;1;1). Phương trình mặt

Câu hỏi số 560977:

Vận dụng

Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-1;1;0), B(0;0;-2), C(1;1;1). Phương trình mặt phẳng (P) nào sau đây thỏa mãn (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (P) bằng \(\sqrt 3 \)?

A. x - y + z + 2 = 0

B. 7x - 5y + z + 2 = 0.

C. 7x - 5y + z - 2 = 0.

D. x - y + z - 2 = 0.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:560977

Phương pháp giải

- Gọi phương trình mặt phẳng (P) theo 3 ẩn là tọa độ của vector pháp tuyến.

- Từ các dữ kiện đề bài, lập 3 phương trình và giải ra 3 ẩn.

Giải chi tiết

Gọi \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\) (điều kiện a² + b² + c² > 0 ) là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A(-1;1;0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {a;b;c} \right)\)là

\(a\left( {x + 1} \right) + b\left( {y - 1} \right) + cz = 0 \Leftrightarrow ax + by + cz + a - b = 0\) (1).

Điểm B(0;0;-2) thuộc mặt phẳng (P) nên \( - 2c + a - b = 0 \Leftrightarrow b = a - 2c\,\,\left( 2 \right)\)

Khoảng cách từ điểm C(1;1;1) đến mặt phẳng (P) bằng \(\sqrt 3 \) nên

\(\dfrac{{\left| {a + b + c + a - b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \sqrt 3 \Leftrightarrow \left| {2a + c} \right| = \sqrt 3 .\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \,\,\,\left( 3 \right)\).

Thế (2) vào (3) và bình phương hai vế ta được

\({\left( {2a + c} \right)^2} = 3\left[ {{a^2} + {{\left( {a - 2c} \right)}^2} + {c^2}} \right] \Leftrightarrow 2{a^2} - 16ac + 14{c^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = c\\a = 7c\end{array} \right.\)

+) a = c, chọn \(\left\{ \begin{array}{l}a = 1\\c = 1\end{array} \right.\) thế vào (2) ta được b = -1.

Phương trình mặt phẳng (P₁) là x - y + z + 2 = 0.

+) a = 7c , chọn \(\left\{ \begin{array}{l}a = 7\\c = 1\end{array} \right.\)thế vào (2) ta được b = 5.

Phương trình mặt phẳng (P₂) là 7x + 5y + z + 2 = 0.

Vậy có hai phương trình mặt phẳng (P) cần tìm là ( P₁): x - y + z + 2 = 0 và (P₂): 7x + 5y+ z + 2 = 0.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.