Gọi \(S\) là tập nghiệm của bất phương trình \({\log _a}\left( {{x^2} - x - 2} \right) > {\log

Câu hỏi số 561419:

Vận dụng

Gọi \(S\) là tập nghiệm của bất phương trình \({\log _a}\left( {{x^2} - x - 2} \right) > {\log _a}\left( { - {x^2} + 2x + 3} \right)\). Biết \(S = \left( {m\,;n} \right)\) và \(\dfrac{7}{3}\) thuộc \(S\), tính \(m + n\).

A. \(m + n = \dfrac{{11}}{3}\).

B. \(m + n = \dfrac{7}{2}\).

C. \(m + n = \dfrac{9}{2}\).

D. \(m + n = \dfrac{{13}}{3}\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561419

Phương pháp giải

- Tìm ĐKXĐ.

- Thay \(x = \dfrac{7}{3}\) vào bất phương trình đã cho và suy ra hoặc \(0 < a < 1\) hoặc \(a > 1\).

- Với a đã xác định được, giải bất phương trình logarit và tìm tập nghiệm S.

Giải chi tiết

Điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - x - 2 > 0\\ - {x^2} + 2x + 3 > 0\\0 < a \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 2\\x < - 1\end{array} \right.\\ - 1 < x < 3\\0 < a \ne 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2 < x < 3\\0 < a \ne 1\end{array} \right..\)

Do \(x = \dfrac{7}{3}\) là nghiệm của bất phương trình đã cho nên \({\log _a}\dfrac{{10}}{9} > {\log _a}\dfrac{{20}}{9} \Rightarrow 0 < a < 1.\)

Vì \(0 < a < 1\) nên bất phương trình đã cho \( \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 < - {x^2} + 2x + 3\).

\( \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 5 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < \dfrac{5}{2}\).

Kết hợp ĐKXĐ ta có \(2 < x < \dfrac{5}{2}.\)

\( \Rightarrow \) Tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {2;\dfrac{5}{2}} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 2\\n = \dfrac{5}{2}\end{array} \right.\).

Vì vậy \(m + n = 2 + \dfrac{5}{2} = \dfrac{9}{2}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.