Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(I\left( {1;0;0} \right)\), điểm \(M\left(
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho điểm \(I\left( {1;0;0} \right)\), điểm \(M\left( {\dfrac{7}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{4}{9}} \right)\) và đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = t\\z = 1 + t\end{array} \right.\). \(N\left( {a,b,c} \right)\) là điểm thuộc đường thẳng \(d\) sao cho diện tích tam giác \(IMN\) nhỏ nhất. Khi đó \(a + b + c\) có giá trị bằng:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
- Tính IM.
- Gọi d’ là đường thẳng đi qua I, M. Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) trên đường thẳng \(d'\) đi qua \(I,M\).
- Tính \({S_{\Delta IMN}} = \dfrac{1}{2}IM.NH\), do IM không đổi nên \({S_{\Delta IMN}}\) nhỏ nhất khi NH nhỏ nhất \( \Rightarrow d\left( {N,d'} \right)\) nhỏ nhất.
- Sử dụng công thức \(NH = d\left( {N;d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\), với \(\overrightarrow {u'} \) là 1 VTCP của đường thẳng d’.
Ta có \(IM = \sqrt {{{\left( {\dfrac{7}{9} - 1} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{4}{9}} \right)}^2}} = \dfrac{2}{3}\).
Gọi d’ là đường thẳng đi qua I, M.
Gọi \(H\) là hình chiếu của \(N\) trên đường thẳng \(d'\) đi qua \(I,M\).
Ta có: \({S_{\Delta IMN}} = \dfrac{1}{2}IM.NH = \dfrac{1}{3}NH\).
Suy ra, diện tích tam giác \(IMN\) nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài \(NH\) nhỏ nhất \( \Rightarrow d\left( {N,d'} \right)\) nhỏ nhất.
Vì \(N \in d \Rightarrow N\left( {2;t;1 + t} \right)\)\( \Rightarrow \overrightarrow {IN} = \left( {1;t;1 + t} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {IM} = \left( { - \dfrac{2}{9};\dfrac{4}{9};\dfrac{4}{9}} \right) = - \dfrac{2}{9}\left( {1; - 2; - 2} \right)\) nên đường thẳng \(d'\) có 1 VTCP \(\overrightarrow {u'} = \left( {1; - 2; - 2} \right)\).
Ta có: \(\left[ {\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {u'} } \right] = \left( {2;t + 3; - t - 2} \right)\).
\( \Rightarrow \)\(NH = d\left( {N;d'} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {IN} ,\overrightarrow {u'} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {u'} } \right|}}\) \( = \dfrac{{\sqrt {{2^2} + {{\left( {t + 3} \right)}^2} + {{\left( { - t - 2} \right)}^2}} }}{3} = \dfrac{{\sqrt {2{{\left( {t + \dfrac{5}{2}} \right)}^2} + \dfrac{9}{4}} }}{3} \ge \dfrac{1}{2}\).
Dấu “=” xảy ra khi \(t = - \dfrac{5}{2}\), khi đó \(N\left( {2; - \dfrac{5}{2}; - \dfrac{3}{2}} \right)\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 2\\b = - \dfrac{5}{2}\\c = - \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\).
Vậy \(a + b + c = 2 + \left( { - \dfrac{5}{2}} \right) + \left( { - \dfrac{3}{2}} \right) = - 2\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
