Cho \(M,\,N,\,P\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({z_1}\), \({z_2}\), \({z_3}\) thỏa mãn
Cho \(M,\,N,\,P\) lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({z_1}\), \({z_2}\), \({z_3}\) thỏa mãn điều kiện \(\left| {5{z_1} + 9 - 3i} \right| = 5\left| {{{\bar z}_1}} \right|\), \(\left| {{z_2} - 2} \right| = \left| {{z_2} - 3 - i} \right|\), \(\left| {{z_3} + 1} \right| + \left| {{z_3} - 3} \right| = 4\). Khi \(M,\,N,\,P\) không thẳng hàng, giá trị nhỏ nhất của nửa chu vi \(p\) của tam giác \(MNP\) là
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng phương pháp hình học.
+) \(\left| {5{z_1} + 9 - 3i} \right| = 5\left| {{{\bar z}_1}} \right|\).
Gọi \({z_1} = {a_1} + {b_1}i\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {5\left( {{a_1} + {b_1}i} \right) + 9 - 3i} \right| = 5\left| {{a_1} - {b_1}i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {5{a_1} + 9} \right)^2} + {\left( {5{b_1} - 3} \right)^2} = 25a_1^2 + 25b_1^2\\ \Leftrightarrow 90{a_1} - 30{b_1} + 90 = 0\\ \Leftrightarrow 3{a_1} - {b_1} + 3 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(M\) biểu diễn số phức \({z_1}\) là đường thẳng \(3x - y + 3 = 0\,\,\left( {{d_1}} \right)\).
+) \(\left| {{z_2} - 2} \right| = \left| {{z_2} - 3 - i} \right|\)
Gọi \({z_2} = {a_2} + {b_2}i\) ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {{a_2} + {b_2}i - 2} \right| = \left| {{a_2} + {b_2}i - 3 - i} \right|\\ \Leftrightarrow {\left( {{a_2} - 2} \right)^2} + b_2^2 = {\left( {{a_2} - 3} \right)^2} + {\left( {{b_2} - 1} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 4{a_2} + 4 = - 6{a_2} + 9 - 2{b_2} + 1\\ \Leftrightarrow 2{a_2} + 2{b_2} - 6 = 0\\ \Leftrightarrow {a_2} + {b_2} - 3 = 0\end{array}\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(N\) biểu diễn số phức \({z_2}\) là đường thẳng \(x + y - 3 = 0\,\,\left( {{d_2}} \right)\)
Trong mặt phẳng \(Oxy\), gọi \(A\left( { - 1\,;\,0} \right)\), \(C\left( {3\,;\,0} \right)\).
+) \(\left| {{z_3} + 1} \right| + \left| {{z_3} - 3} \right| = 4\) \( \Leftrightarrow \) \(PA + PC = AC\)
\( \Rightarrow \) Tập hợp điểm \(P\) biểu diễn số phức \({z_3}\) là đoạn \(AC\).
Đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\) đi qua A, đường thẳng \(\left( {{d_2}} \right)\) đi qua C, \(\left( {{d_1}} \right) \cap \left( {{d_2}} \right) = B\left( {0;3} \right)\).
\( \Rightarrow M \in AB,\,\,N \in BC,\,\,\,P \in AC\).
Ta có hình vẽ sau:
Nửa chu vi tam giác MNP là: \(p = \dfrac{{MN + NP + PM}}{2}\).
Gọi \({P_1}\), \({P_2}\) lần lượt đối xứng với \(P\) qua \(AB\), \(BC\). Ta có \(MP = M{P_1}\), \(NP = N{P_2}\).
Khi đó \(MN + NP + PM = {P_1}M + MN + N{P_2} \ge {P_1}{P_2}\).
Ta thấy \(\angle {P_1}B{P_2} = \angle {P_1}BA + \angle ABC + \angle CB{P_2} = \angle PBA + \angle ABC + \angle PBC = 2\angle ABC\).
Theo định lí Sin: \(\dfrac{{AB}}{{\sin \angle BCA}} = \dfrac{{AC}}{{\sin \angle ABC}} \Rightarrow \sin \angle ABC = \dfrac{{AC\sin \angle BCA}}{{AB}} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
Gọi \(H\) là trung điểm của \({P_1}{P_2}\), khi đó
\(\begin{array}{l}{P_1}{P_2} = 2{P_2}H = 2B{P_2}.\sin \angle {P_2}BH\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2BP.\sin \angle ABC\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2BP.\dfrac{{2\sqrt 5 }}{5} = \dfrac{{4\sqrt 5 }}{5}BP\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \ge \dfrac{{4\sqrt 5 }}{5}BO = \dfrac{{12\sqrt 5 }}{5}\end{array}\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của \(p\) là \(\dfrac{{6\sqrt 5 }}{5}\).
Đáp án cần chọn là: B
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
