Cho hàm số \(f\left( x \right)\) với đồ thị là Parabol đỉnh \(I\) có tung độ bằng \( -

Câu hỏi số 561422:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) với đồ thị là Parabol đỉnh \(I\) có tung độ bằng \( - \dfrac{7}{{12}}\) và hàm số bậc ba \(g\left( x \right)\). Đồ thị hai hàm số đó cắt nhau tại ba điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2},{x_3}\) thoả mãn \(18{x_1}{x_2}{x_3} = - 55\) (hình vẽ).

Diện tích miền tô đậm gần số nào nhất trong các số sau đây?

A. 6,3.

B. 6,1.

C. 5,9.

D. 5,7.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561422

Phương pháp giải

- Xác định tọa độ điểm I, lập hàm số f(x).

- Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = - 1,x = 2\) nên \(g'\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\,\,\left( {a \ne 0} \right)\), tính \(g\left( x \right) = \int {g'\left( x \right)dx} \) theo 2 biến a, b.

- Điểm I thuộc g(x).

- Xét phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\), đưa về phương trình bậc ba, sử dụng định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba.

- Giải hệ tìm a, b và suy ra hàm g(x).

- Giải phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\) tìm các cận, ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng.

Giải chi tiết

Dễ thấy \(I\left( {\dfrac{1}{2}, - \dfrac{7}{{12}}} \right)\) (do I là đỉnh của (P)) và \(f\left( x \right) = \dfrac{7}{{27}}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\).

Hàm số \(g\left( x \right)\) đạt cực trị tại \(x = - 1,x = 2\) nên \(g'\left( x \right) = a\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\,\,\left( {a \ne 0} \right)\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) = a\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right) + b\).

Đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) đi qua \(I\) nên \(g\left( {\dfrac{1}{2}} \right) = - \dfrac{7}{{12}} \Leftrightarrow - \dfrac{7}{{12}} = - \dfrac{{13}}{{12}}a + b\) \(\left( 1 \right)\).

Xét phương trình hoành độ giao điểm \(f\left( x \right) = g\left( x \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a\left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x} \right) + b = \dfrac{7}{{27}}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right)\\ \Leftrightarrow 18a{x^3} - 27a{x^2} - 108ax + 54b = 14{x^2} - 14x - 28\\ \Leftrightarrow 18a{x^3} - \left( {27a + 14} \right){x^2} - \left( {108a - 14} \right)x + 54b + 28 = 0\end{array}\)

Theo định lý viet ta có: \(18{x_1}{x_2}{x_3} = - 55 \Leftrightarrow 18.\dfrac{{54b + 28}}{{18a}} = - 55 \Rightarrow 54b + 28 = - 55a\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) ta được \(a = 1,\,\,b = \dfrac{1}{2}\) \( \Rightarrow g\left( x \right) = \dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{1}{2}\).

Khi đó \(f\left( x \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow 18{x^3} - 41{x^2} - 94x + 55 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)\left( {18{x^2} - 32x - 110} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\x = \dfrac{{8 + \sqrt {559} }}{9}\\x = \dfrac{{8 - \sqrt {559} }}{9}\end{array} \right.\)

Từ đó suy ra diện tích miền tô đậm là: \(S = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^{\dfrac{{8 + \sqrt {559} }}{9}} {\left[ {\dfrac{7}{{27}}\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) - \left( {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{{x^2}}}{2} - 2x + \dfrac{1}{2}} \right)} \right]dx} \approx 5,7\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.