Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(3\) đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\),

Câu hỏi số 561424:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho \(3\) đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\), \(\left( {{d_3}} \right)\) có phương trình \(\left( {{d_1}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2{t_1}\\y = 1 + {t_1}\\z = 1 - 2{t_1}\end{array} \right.\), \(\left( {{d_2}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + {t_2}\\y = - 1 + 2{t_2}\\z = 2 + 2{t_2}\end{array} \right.\), \(\left( {{d_3}} \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 4 + 2{t_3}\\y = 4 - 2{t_3}\\z = 1 + {t_3}\end{array} \right.\). \(S\left( {I;R} \right)\) là mặt cầu tâm \(I\) bán kính \(R\) tiếp xúc với \(3\) đường thẳng đó. Giá trị nhỏ nhất của \(R\) gần số nào nhất trong các số sau:

A. 2,3.

B. 2,4.

C. 2,2

D. 2,1.

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:561424

Giải chi tiết

Ta có: \(\left( {{d_1}} \right)\) đi qua điểm \(A\left( {1;\,1;\,1} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {2;\,1;\, - 2} \right)\).

\(\left( {{d_2}} \right)\) đi qua điểm \(B\left( {3;\, - 1;\,2} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( {1;\,2;\,2} \right)\).

\(\left( {{d_3}} \right)\) đi qua điểm \(C\left( {4;\,4;\,1} \right)\) có VTCP \(\overrightarrow {{u_3}} = \left( {2;\, - 2;\,1} \right)\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {{u_1}} .\overrightarrow {{u_2}} = 0\\\overrightarrow {{u_2}} .\overrightarrow {{u_3}} = 0\\\overrightarrow {{u_3}} .\overrightarrow {{u_1}} = 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\), \(\left( {{d_3}} \right)\) đôi một vuông góc với nhau.

Ta lại có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {AB} \ne 0\\\left[ {\overrightarrow {{u_2}} ,\,\overrightarrow {{u_3}} } \right].\overrightarrow {BC} \ne 0\\\left[ {\overrightarrow {{u_3}} ,\,\overrightarrow {{u_1}} } \right].\overrightarrow {CA} \ne 0\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\), \(\left( {{d_3}} \right)\) đôi một chéo nhau.

Có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;\, - 2;\,1} \right)\); \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {{u_1}} = 0\) và \(\overrightarrow {AB} .\,\overrightarrow {{u_2}} = 0\) nên \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\), \(\left( {{d_3}} \right)\) chứa \(3\) cạnh của hình hộp chữ nhật như sau:

Vì mặt cầu tâm \(I\left( {a;\,b;\,c} \right)\) tiếp xúc với \(3\) đường thẳng \(\left( {{d_1}} \right)\), \(\left( {{d_2}} \right)\), \(\left( {{d_3}} \right)\) nên bán kính

\(\begin{array}{l}R = d\left( {I,\,{d_1}} \right) = d\left( {I,\,{d_2}} \right) = d\left( {I,\,{d_3}} \right)\\ \Leftrightarrow {R^2} = {d^2}\left( {I,\,{d_1}} \right) = {d^2}\left( {I,\,{d_2}} \right) = {d^2}\left( {I,\,{d_3}} \right)\\ \Leftrightarrow {R^2} = {\left( {\dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {AI} ,\,\overrightarrow {{u_1}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {BI} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|}}} \right)^2} = {\left( {\dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {CI} ,\,\overrightarrow {{u_3}} } \right]} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_3}} } \right|}}} \right)^2}\end{array}\)

Ta có:

\({\left| {\overrightarrow {{u_1}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{u_2}} } \right|^2} = {\left| {\overrightarrow {{u_3}} } \right|^2} = 9\)

\(\overrightarrow {AI} = \left( {a - 1;\,b - 1;\,c - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {AI} ,\,\overrightarrow {{u_1}} } \right] = \left( { - 2b - c + 3;\,2a + 2c - 4;\,a - 2b + 1} \right)\).

\(\overrightarrow {BI} = \left( {a - 3;\,b + 1;\,c - 2} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {BI} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right] = \left( {2b - 2c + 6;\, - 2a + c + 4;\,2a - b - 7} \right)\).

\(\overrightarrow {CI} = \left( {a - 4;\,b - 4;\,c - 1} \right)\), \(\left[ {\overrightarrow {CI} ,\,\overrightarrow {{u_3}} } \right] = \left( {b + 2c - 6;\, - a + 2c + 2; - 2\,a - 2b + 16} \right)\).

Suy ra:

\(9{R^2} = {\left| {\left[ {\overrightarrow {AI} ,\,\overrightarrow {{u_1}} } \right]} \right|^2} = {\left| {\left[ {\overrightarrow {BI} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|^2} = {\left| {\left[ {\overrightarrow {CI} ,\,\overrightarrow {{u_3}} } \right]} \right|^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 27{R^2} = {\left| {\left[ {\overrightarrow {AI} ,\,\overrightarrow {{u_1}} } \right]} \right|^2} + {\left| {\left[ {\overrightarrow {BI} ,\,\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|^2} + {\left| {\left[ {\overrightarrow {CI} ,\,\overrightarrow {{u_3}} } \right]} \right|^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 18\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) - 126a - 54b - 54c + 423\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 18{\left( {a - \dfrac{7}{2}} \right)^2} + 18{\left( {b - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + 18{\left( {c - \dfrac{3}{2}} \right)^2} + \dfrac{{243}}{2} \ge \dfrac{{243}}{2}\end{array}\)

Vậy \({R_{\min }} = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} \approx 2,1\) .

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.