Cho biểu thức \(A = \left( {{a^{2012}} + {b^{2012}} + {c^{2012}}} \right) - \left( {{a^{2008}} + {b^{2008}} +

Câu hỏi số 562012:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \(A = \left( {{a^{2012}} + {b^{2012}} + {c^{2012}}} \right) - \left( {{a^{2008}} + {b^{2008}} + {c^{2008}}} \right)\) với \(a,b,c\) là số nguyên dương. Chứng minh rằng \(A \vdots 30\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:562012

Phương pháp giải

+ \(\forall n \in \mathbb{N}*\) thì \({n^5} - n = 0\left( {\bmod \;30} \right)\)

+ Nhân (chia) hai vế và mô – đun của một đồng dư thức với một số nguyên dương

\(a \equiv b\left( {\bmod \;m} \right)\) thì \(a.c \equiv b.c\left( {\bmod \;m.c} \right)\)

Giải chi tiết

\(A = \left( {{a^{2012}} - {a^{2008}}} \right) + \left( {{b^{2012}} - {b^{2005}}} \right) + \left( {{c^{2012}} - {c^{2008}}} \right) = {a^{2007}}\left( {{a^5} - a} \right) + {b^{2007}}\left( {{b^5} - b} \right) + {c^{2007}}\left( {{c^5} - c} \right)\)

Ta có : \({a^5} - a \equiv 0\left( {\bmod \;30} \right) \Rightarrow {a^{2007}}\left( {{a^5} - a} \right) \equiv 0\left( {\bmod \;30} \right)\)

Tương tự ta được \(\left\{ \begin{array}{l}{b^{2007}}\left( {{b^5} - b} \right) \equiv 0\left( {\bmod \;30} \right)\\{c^{2007}}\left( {{c^5} - c} \right) \equiv 0\left( {\bmod \;30} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow A \equiv 0\left( {\bmod \;30} \right) \Rightarrow A \vdots 30\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link