Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + k\) với hệ số thực. Biết đồ thị

Câu hỏi số 563151:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + dx + k\) với hệ số thực. Biết đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có điểm \(O\left( {0;0} \right)\) là điểm cực trị, cắt trục hoành tại điểm \(A\left( {3;0} \right)\) và có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) để phương trình \(f\left( { - {x^2} + 2x + m} \right) = k\) có bốn nghiệm phân biệt.

A. \(5\).

B. \(7\).

C. \(0\).

D. \(2\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:563151

Phương pháp giải

- Dựa vào giao điểm của f’(x) và trục hoành suy ra f’(x) có dạng \(f'\left( x \right) = p{x^2}\left( {x - 3} \right)\;\left( {p \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}} \right)\).

- Cho (2;1) thuộc f’(x) tìm p và tìm f’(x) tường minh.

- Từ f(x) đề bài cho, t ính f’(x), đồng nhất hệ số tìm a, b, c, d.

- Đặt \(u = - {x^2} + 2x + m\), phương trình đã cho trở thành \(f\left( u \right) = k\), giải phương trình tìm u.

- Biện luận nghiệm.

Giải chi tiết

Từ đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = p{x^2}\left( {x - 3} \right)\;\left( {p \in \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}} \right)\).

Mặt khác đồ thị hàm số \(y = f'\left( x \right)\) đi qua điểm \(\left( {2;1} \right)\) suy ra \( - 4p = 1 \Leftrightarrow p = - \dfrac{1}{4}\)

\( \Rightarrow f'\left( x \right) = - \dfrac{1}{4}{x^2}\left( {x - 3} \right) = - \dfrac{1}{4}{x^3} + \dfrac{3}{4}{x^2}\;(1)\).

Theo đề bài ta có \(f'\left( x \right) = 4a{x^3} + 3b{x^2} + 2cx + d\;(2)\).

Đồng nhất hệ số (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}4a = - \dfrac{1}{4}\\3b = \dfrac{3}{4}\\2c = 0\\d = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - \dfrac{1}{{16}}\\b = \dfrac{1}{4}\\c = 0\\d = 0\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{{16}}{x^4} + \dfrac{1}{4}{x^3} + k\).

Đặt \(u = - {x^2} + 2x + m\), phương trình đã cho trở thành:

\(f\left( u \right) = k \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{16}}{u^4} + \dfrac{1}{4}{u^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}u = 0\\u = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - {x^2} + 2x + m = 0\;(3)\\ - {x^2} + 2x + m = 4\;(4)\end{array} \right.\)

Vì phương trình (3) và (4) không có nghiệm chung nên để phương trình \(f\left( { - {x^2} + 2x + m} \right) = k\) có bốn nghiệm phân biệt thì phương trình (3) và (4) mỗi phương trình có hai nghiệm phân biệt khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1}' = 1 + m > 0\\{\Delta _2}' = 1 + m - 4 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m > - 1\\m > 3\end{array} \right. \Leftrightarrow m > 3\).

Kết hợp điều kiện đề bài \( \Rightarrow m \in \left( {3;5} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {4;5} \right\}\). Vậy có hai giá trị nguyên của m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.