Chứng minh biểu thức \(A = \dfrac{3}{2} - \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}}\) luôn dương với mọi giá trị của

Câu hỏi số 564543:

Vận dụng

Chứng minh biểu thức \(A = \dfrac{3}{2} - \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}}\) luôn dương với mọi giá trị của \(x\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564543

Phương pháp giải

Cách rút gọn biểu thức hữu tỉ

+ Thực hiện các phép tính để biến đổi biểu thức hữu tỉ thành một phân thức.

+ Rút gọn phân thức bằng việc chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung.

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {a + b} \right)^2} \ge 0,\forall x\\{a^2} \ge 0,\forall x\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

\(A = \dfrac{3}{2} - \dfrac{x}{{{x^2} + x + 1}} = \dfrac{{3\left( {{x^2} + x + 1} \right) - 2x}}{{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{3{x^2} + 3x + 3 - 2x}}{{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}} = \dfrac{{3{x^2} + x + 3}}{{2\left( {{x^2} + x + 1} \right)}}\)

Ta có:

+\({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.x.\dfrac{1}{2} + {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} > 0,\forall x\)

+ \(3{x^2} + x + 3 = 2{x^2} + \left( {{x^2} + x + 1} \right) + 2 = 2{x^2} + {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} + 2 = 2{x^2} + {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{{11}}{4} > 0,\forall x\)

\( \Rightarrow A > 0,\forall x\) (đpcm)

Chú ý khi giải

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link