Biết rằng số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\) và \(\left| z \right|\) có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức \(z\) bằng:

Câu 564549: Biết rằng số phức \(z\) thoả mãn \(\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\) và \(\left| z \right|\) có giá trị nhỏ nhất. Phần thực của số phức \(z\) bằng:

A. \(\dfrac{2}{5}\)

B. \(\dfrac{1}{5}\)

C. \( - \dfrac{2}{5}\)

D. \( - \dfrac{1}{5}\)

Câu hỏi : 564549

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Đáp án : D
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Đặt \(z = x + yi\left( {x,y \in {\bf{R}}} \right)\). Khi đó ta có:
\(\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + {{\left( { - y - 3} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} \Leftrightarrow x + 2y + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 2y - 1\)(1)
Lại có: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \)(2)
Thay (1) vào (2) ta được: \(\left| z \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}} = \sqrt {{{\left( { - 2y - 1} \right)}^2} + {y^2}} = \sqrt {5{y^2} + 4y + 1} = \sqrt {5{{\left( {y + \dfrac{2}{5}} \right)}^2} + \dfrac{1}{5}} \ge \dfrac{{\sqrt 5 }}{5},\forall x \in {\bf{R}}\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi \(y + \dfrac{2}{5} = 0 \Leftrightarrow y = - \dfrac{2}{5}\)
Có thể sử dụng máy tính để tìm giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\)
Đầu tiên, ta chọn khoảng giá trị là:
Start: -5End: 5 Step: 0,5
Sau đó, khảo sát \(f\left( x \right)\) trên khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) để tìm min chính xác hơn:
Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(\left| z \right|\) đạt được khi \(y = - \dfrac{2}{{45}} = - 0,4\)
Thay \(y = - \dfrac{2}{5}\) vào (1) ta có: \(x = - \dfrac{1}{5}\)
Vậy phần thực của số phức \(z\) là \( - \dfrac{1}{5}\)

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.