Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| z \right| = 1\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {z + 1} \right| + \left| {{z^2} - z + 1} \right|\). Tính \(M.m\)

Câu 564550: Cho số phức \(z\) thoả mãn \(\left| z \right| = 1\). Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \left| {z + 1} \right| + \left| {{z^2} - z + 1} \right|\). Tính \(M.m\)

A. \(\dfrac{{13\sqrt 3 }}{4}\)

B. \(\dfrac{{39}}{4}\)

C. \(3\sqrt 3 \)

D. \(\dfrac{{13}}{4}\)

Câu hỏi : 564550

Phương pháp giải:

Đáp án : A
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Thay \({\left| z \right|^2} = 1\) vào \(P\) ta có:
\(P = \left| {z + 1} \right| + \left| {{z^2} - z + 1} \right| = \left| {z + 1} \right| + \left| {{z^2} - z + {{\left| z \right|}^2}} \right| = \left| {z + 1} \right| + \left| {{z^2} - z + z.\overline z } \right| = \left| {z + 1} \right| + \left| z \right|\left| {z + \overline z - 1} \right| = \left| {z + 1} \right| + \left| {z + \overline z - 1} \right|\)
Mặt khác \({\left| {z + 1} \right|^2} = \left( {z + 1} \right)\left( {\overline z + 1} \right) = 2 + z + \overline z \).
Đặt \(t = z + \overline z \) do \(\left| z \right| = 1\) nên điều kiện \(t \in \left[ { - 2;2} \right]\)
Suy ra \(P = \sqrt {t + 2} + \left| {t - 1} \right|\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = \sqrt {t + 2} + \left| {t - 1} \right|,\) với \(t \in \left[ { - 2;2} \right]\)
Cách 1:
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {t + 2} }} + 1 > 0,t > 1\\f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{2\sqrt {t + 2} }} - 1,t < 1 \Rightarrow f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow t = - \dfrac{7}{4}\left( {t/m} \right)\end{array} \right.\)
BBT:
Từ BBT ta suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}M = \dfrac{{13}}{4}\\m = \sqrt 3 \end{array} \right. \Rightarrow M.m = \dfrac{{13\sqrt 3 }}{4}\)
Cách 2:
Sử dụng máy tính cầm tay tìm min, max:
Từ đó suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}M \approx 3,2477\\m \approx 1,732\end{array} \right. \Rightarrow M.m \approx 5,625\)
Ấn các đáp án ta thấy đáp án A gần kết quả ta thu được nhất.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.