Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\), có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left(

Câu hỏi số 564958:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\), có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 5} \right),\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 1 \right) = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2} + 1} \right) - m} \right|\) có nhiều điểm cực trị nhất?

A. 6.

B. 8.

C. 5.

D. 7.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564958

Phương pháp giải

Số cực trị của hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) bằng tổng của số cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\) và số giao điểm khác (các cực trị trên) của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) với trục hoành.

Giải chi tiết

Ta có: \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 2\\x = - 2\\x = 5\end{array} \right.\) .

Xét hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right) \Rightarrow h'\left( x \right) = 2x.f'\left( {{x^2} + 1} \right)\).

\(h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\f'\left( {{x^2} + 1} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\{x^2} + 1 = - 2\\{x^2} + 1 = 2\\{x^2} + 1 = 5\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \pm 1\\x = \pm 2\end{array} \right.\).

Bảng biến thiên:

Ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( x \right) = \left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 5} \right),\forall x \in \mathbb{R}\\ \Rightarrow f\left( x \right) = \int {\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {x - 5} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int {\left( {{x^3} - 5{x^2} - 4x + 20} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{5}{3}{x^3} - 2{x^2} + 20x + C\end{array}\)

Mà \(f\left( 1 \right) = 0 \Rightarrow C = - \dfrac{1}{4} + \dfrac{5}{3} + 2 - 20 = - \dfrac{{199}}{{12}}\).

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \dfrac{1}{4}{x^4} - \dfrac{5}{3}{x^3} - 2{x^2} + 20x - \dfrac{{199}}{{12}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 2 \right) = \dfrac{{73}}{{12}}\\f\left( 5 \right) = - \dfrac{{56}}{3}\end{array} \right.\).

Bảng trên trở thành:

Để hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2} + 1} \right) - m} \right|\) có nhiều điểm cực trị nhất thì đồ thị hàm số \(y = h\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 1} \right)\) cắt đường thẳng \(y = m\) nhiều điểm nhất \( \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{{73}}{{12}}\) (khi đó, hàm số \(g\left( x \right) = \left| {f\left( {{x^2} + 1} \right) - m} \right|\) có tổng cộng \(5 + 6 = 11\) cực trị).

Mà \(m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ {1;2;3;..;6} \right\}\).

Vậy có 6 giá trị m thỏa mãn.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.