Cho \(x,y,z \in \left[ {0;2} \right]\) và thỏa mãn \(x + 2y + z = 6\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

Câu hỏi số 564959:

Vận dụng cao

Cho \(x,y,z \in \left[ {0;2} \right]\) và thỏa mãn \(x + 2y + z = 6\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {3^{2x - {x^2}}} + {5^{2y - {y^2}}} + {3^z} + 2{x^2} + 4{y^2}\).

A. \(\max P = 25\).

B. \(\max P = 27\).

C. \(\max P = 26\).

D. \(\max P = 30\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564959

Phương pháp giải

Áp dụng BĐT Bernoulli: \({a^x} \le \left( {a - 1} \right)x + 1\,\,\left( {0 < a \ne 1,\,\,0 \le x \le 1} \right)\).

Đẳng thức xảy ra khi \(x = 0\) hoặc \(x = 1\).

Giải chi tiết

Với \(x,y,z \in \left[ {0;2} \right]\), ta có:

\(\begin{array}{l}
P = {3^{2x - {x^2}}} + {5^{2y - {y^2}}} + {3^z} + 2{x^2} + 4{y^2} = {3^{2x - {x^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {5^{2y - {y^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + {9^{\frac{z}{2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, + 2{x^2} + 4{y^2}\\
\,\,\,\,\,\,\,\, \ge 2\left( {2x - {x^2}} \right) + 1\,\,\,\,\, + 4\left( {2y - {y^2}} \right) + 1\,\, + 8.\frac{z}{2} + 1\,\,\,\, + 2{x^2} + 4{y^2}\\
\,\,\,\,\,\,\,\, = 4x - 2{x^2} + 1 + 8y - 4{y^2} + 1 + 4\left( {6 - x - 2y} \right) + 1 + 2{x^2} + 4{y^2}\\
\,\,\,\,\,\,\,\, = 27.
\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}2x - {x^2} = 0 \vee 2x - {x^2} = 1\\2y - {y^2} = 0 \vee 2y - {y^2} = 1\\\dfrac{z}{2} = 0 \vee \dfrac{z}{2} = 1\\x + 2y + z = 6\end{array} \right.\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0,y = z = 2\\x = y = 2,z = 0\end{array} \right.\).

Vậy \(\max P = 27\).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.