Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z +

Câu hỏi số 564960:

Vận dụng cao

Trong không gian tọa độ \(Oxyz\) cho đường thẳng \(d:\dfrac{{x - 1}}{2} = \dfrac{{y - 1}}{2} = \dfrac{{z + 1}}{1}\) và hai điểm \(A\left( {6;0;0} \right),B\left( {0;0; - 6} \right)\). Khi điểm \(M\) thay đổi trên đường thẳng \(d\) hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = MA + MB\).

A. \(\min P = 6\sqrt 3 \).

B. \(\min P = 6\sqrt 2 \).

C. \(\min P = 9\).

D. \(\min P = 12\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:564960

Phương pháp giải

Tham số hóa điểm \(M\).

Sử dụng BĐT Minkowski \(\sqrt {{a^2} + {x^2}} + \sqrt {{b^2} + {y^2}} \ge \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( {x + y} \right)}^2}} \) (dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{x}{y}\)) biện luận GTNN của \(P = MA + MB\).

Giải chi tiết

\(M\) thay đổi trên đường thẳng \(d\,\, \Rightarrow M\left( {1 + 2t;1 + 2t; - 1 + t} \right)\).

Khi đó, \(P = MA + MB = \sqrt {{{\left( {2t - 5} \right)}^2} + {{\left( {2t + 1} \right)}^2} + {{\left( {t - 1} \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {2t + 1} \right)}^2} + {{\left( {2t + 1} \right)}^2} + {{\left( {t + 5} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} = \sqrt {9{t^2} - 18t + 27} + \sqrt {9{t^2} + 18t + 27} \\ = 3\left[ {\sqrt {{{\left( {1 - t} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} + \sqrt {{{\left( {t + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} } \right]\\ \ge 3\sqrt {{{\left( {1 - t + t + 1} \right)}^2} + {{\left( {\sqrt 2 + \sqrt 2 } \right)}^2}} = 6\sqrt 3 \end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{1 - t}}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{t + 1}}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow 1 - t = t + 1 \Leftrightarrow t = 0\).

Vậy \(\min P = 6\sqrt 3 \) khi và chỉ khi \(t = 0 \Leftrightarrow M\left( {1;1; - 1} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.