Thầy Quyết viết các số nguyên 1, 2, 3,…., 2021, 2002 lên bảng. Thầy Quyết thực hiện việc thay

Câu hỏi số 565912:

Vận dụng cao

Thầy Quyết viết các số nguyên 1, 2, 3,…., 2021, 2002 lên bảng. Thầy Quyết thực hiện việc thay số như sau: Mỗi lần thay số, thầy chọn ra hai số bất kì trên bảng, xóa hai số này đi và viết lên bảng số trung bình cộng của hai số vừa xóa. Sau 2021 lần thay số như vậy, trên bảng còn lại duy nhất một số.

a) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2021.

b) Chứng minh rằng số còn lại trên bảng có thể là số 2006.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565912

Giải chi tiết

a) Ta sẽ chỉ ra một cách xóa để số còn lại trên bảng là 2021
Lần 1: Xóa 1; 3 và thay bởi số 2
Lần 2: Xóa 2; 2 và thay bởi số 2
Lần 3: Xóa 2; 4 và thay bởi số 3
…..
Lần k: Xóa \(k - 1\) ; \(k + 1\) và thay bởi số k.
…..
Lần 2020: Xóa 2019; 2021 và thay bởi số 2020
Lần 2021: Xóa 2021; 2022 và thay bởi số 2021.
Lúc này trên bảng chỉ còn lại số 2021.
b) Ta cũng chỉ ra được một cách xóa để số còn lại trên bảng là 2006.
Chỉ cần chia dãy các số 1; 2; 3; 4; …, 2020; 2021; 2022 thành hai phần (hai dãy con) như
sau:
Dãy 1: 1; 2; 3; 4; …., 2005; 2006
Dãy 2: 2007; 2008; ….; 2021; 2022.
Bằng thuật toán như phần a với dãy 1 thì sau 2004 bước ta còn lại 2 số 2004, 2006
Bằng thuật toán như phần a với dãy 2 nhưng thực hiện ngược lại từ cuối dãy về đầu dãy
thì sau 15 bước ta còn lại 1 số 2008.
Nên sau 2019 bước sẽ còn lại 3 số: 2004; 2006; 2008.
Và sau 2 bước nữa ta thu được số 2006 trên bảng.

Vậy số còn lại trên bảng có thể là số 2006
Nhận xét: Bằng quy nạp theo n, ta có thể chứng minh được bài toán tổng quát sau: Cho
các số trên bảng là 1; 2; 3; 4;…;\(n - 1\) ; n. Khi đó ta luôn có thể có cách thực hiện việc thay số
để thu được một số k bất kì từ 2 đến \(n - 1\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.