Cho hình thang ABCD (AD song song với BC, AD < BC). Các điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh AB, CD.

Câu hỏi số 565911:

Vận dụng

Cho hình thang ABCD (AD song song với BC, AD < BC). Các điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh AB, CD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường thẳng AD tại M (M không trùng với A và D, D nằm giữa A và M), đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt đường thẳng BC tại điểm N (N không trùng với B và C, B nằm giữa C và N). Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại điểm P, đường thẳng EN cắt đường thẳng FM tại điểm Q. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác EFQP nội tiếp đường tròn

b) PQ song song với BC và tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác PQE, AMF, CEN cùng nằm trên một đường thẳng cố định.

c) Các đường thẳng MN, BD, EF đồng quy tại một điểm

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565911

Giải chi tiết

Vì AD // BC nên \(\angle FCN = \angle PDA\) (2 góc đồng vị)

Do đó: \(\angle EQF = {180^0} - \angle PDA - \angle PAD = \angle EPF\)

Suy ra tứ giác EFQP nội tiếp đường tròn.

b) Vì tứ giác EFQP nội tiếp nên \(\angle QPA = {180^0} - QFE = {180^0} - \angle PAD\)

\( \Rightarrow \angle QPA + \angle PAD = {180^0}\)

Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía \( \Rightarrow \) PQ // AD

Gọi \(\left( {{O_1}} \right);\left( {{O_2}} \right);\left( {{O_3}} \right)\) lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp tam giác PQE; AMF, CEN

Do \(\left( {{O_1}} \right)\) cắt \(\left( {{O_2}} \right)\) tại E và F nên \({O_1}{O_2} \bot EF\,\,\,\,\,\,(1)\)

Do \(\left( {{O_2}} \right)\) cắt \(\left( {{O_3}} \right)\) tại E và F nên \({O_2}{O_3} \bot EF\,\,\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \({O_1};{O_2};{O_3}\) thẳng hàng (đpcm)

c) Giả sử MN cắt EF tại K. Ta chứng minh B, D, K thẳn hàng

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác MNQ và cát tuyến KEF ta được: \(\dfrac{{KM}}{{KN}}.\dfrac{{EN}}{{EQ}}.\dfrac{{FQ}}{{FM}} = 1\)

Suy ra \(\dfrac{{KM}}{{KN}} = \dfrac{{EQ}}{{EN}}.\dfrac{{FM}}{{FQ}} = \dfrac{{PQ}}{{NB}}.\dfrac{{DM}}{{PQ}} = \dfrac{{DM}}{{NB}}\)

Kết hợp với MD // NB, suy ra B, D, K thẳng hàng (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.