Cho hình thang ABCD (AD song song với BC, AD < BC). Các điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh AB, CD.
Cho hình thang ABCD (AD song song với BC, AD < BC). Các điểm E, F lần lượt thuộc các cạnh AB, CD. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường thẳng AD tại M (M không trùng với A và D, D nằm giữa A và M), đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF cắt đường thẳng BC tại điểm N (N không trùng với B và C, B nằm giữa C và N). Đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại điểm P, đường thẳng EN cắt đường thẳng FM tại điểm Q. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác EFQP nội tiếp đường tròn
b) PQ song song với BC và tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác PQE, AMF, CEN cùng nằm trên một đường thẳng cố định.
c) Các đường thẳng MN, BD, EF đồng quy tại một điểm
Quảng cáo
Vì AD // BC nên \(\angle FCN = \angle PDA\) (2 góc đồng vị)
Do đó: \(\angle EQF = {180^0} - \angle PDA - \angle PAD = \angle EPF\)
Suy ra tứ giác EFQP nội tiếp đường tròn.
b) Vì tứ giác EFQP nội tiếp nên \(\angle QPA = {180^0} - QFE = {180^0} - \angle PAD\)
\( \Rightarrow \angle QPA + \angle PAD = {180^0}\)
Mà hai góc ở vị trí trong cùng phía \( \Rightarrow \) PQ // AD
Gọi \(\left( {{O_1}} \right);\left( {{O_2}} \right);\left( {{O_3}} \right)\) lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp tam giác PQE; AMF, CEN
Do \(\left( {{O_1}} \right)\) cắt \(\left( {{O_2}} \right)\) tại E và F nên \({O_1}{O_2} \bot EF\,\,\,\,\,\,(1)\)
Do \(\left( {{O_2}} \right)\) cắt \(\left( {{O_3}} \right)\) tại E và F nên \({O_2}{O_3} \bot EF\,\,\,\,\,\,(2)\)
Từ (1) và (2) suy ra \({O_1};{O_2};{O_3}\) thẳng hàng (đpcm)
c) Giả sử MN cắt EF tại K. Ta chứng minh B, D, K thẳn hàng
Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác MNQ và cát tuyến KEF ta được: \(\dfrac{{KM}}{{KN}}.\dfrac{{EN}}{{EQ}}.\dfrac{{FQ}}{{FM}} = 1\)
Suy ra \(\dfrac{{KM}}{{KN}} = \dfrac{{EQ}}{{EN}}.\dfrac{{FM}}{{FQ}} = \dfrac{{PQ}}{{NB}}.\dfrac{{DM}}{{PQ}} = \dfrac{{DM}}{{NB}}\)
Kết hợp với MD // NB, suy ra B, D, K thẳng hàng (đpcm)
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
