Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán 8

Tìm GTLN của các biểu thức sau:

Tìm GTLN của các biểu thức sau:

Trả lời cho các câu 1, 2 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

\(F = 2 - 3{\left( {x + 1} \right)^4} + 3{\left( {x - 5} \right)^4}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải
Câu hỏi:565957
Phương pháp giải

+ Phân tích đa thức thành nhân tử là các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a \pm b} \right)^2} = {a^2} \pm 2ab + {b^2}\) và \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\)

+ Để tìm GTLN của biểu thức \(A\), ta cần:

Chứng minh \(A \le k\) với \(k\) là hằng số. Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến. Tức là chỉ ra \(x = {x_0}\)  để \(A\left( {{x_0}} \right) = k\)

+ Bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} \ge \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)

Giải chi tiết

a) \(F = 2 - 3{\left( {x + 1} \right)^4} - 3{\left( {x - 5} \right)^4}\)

   \(F = 2 - 3\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^4} + {{\left( {5 - x} \right)}^4}} \right]\)

Ta có: \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0,\forall a;b\)

     \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}{a^2} - ab + \dfrac{1}{2}{b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} - \dfrac{1}{2}{a^2} - ab + {b^2} - \dfrac{1}{2}{b^2} \ge 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \dfrac{1}{2}{a^2} + ab + \dfrac{1}{2}{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \dfrac{1}{2}\left( {{a^2} + 2ab + {b^2}} \right)\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = b\)

Áp dụng bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} \ge \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\) (chứng minh trên), ta có:

 \({\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \right]^2} + {\left[ {{{\left( {5 - x} \right)}^2}} \right]^2} \ge \dfrac{1}{2}{\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - x} \right)}^2}} \right]^2}\)

\( \Leftrightarrow 3\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^4} + {{\left( {5 - x} \right)}^4}} \right] \ge \dfrac{3}{2}{\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^2} + {{\left( {5 - x} \right)}^2}} \right]^2}\)\( \ge \dfrac{3}{2}{\left[ {\dfrac{1}{2}{{\left( {x + 1 + 5 - x} \right)}^2}} \right]^2} = 486\)

Vì \(3\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^4} + {{\left( {5 - x} \right)}^4}} \right] \ge 486\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - 3\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^4} + {{\left( {5 - x} \right)}^4}} \right] \le  - 486\\ \Rightarrow 2 - 3\left[ {{{\left( {x + 1} \right)}^4} + {{\left( {5 - x} \right)}^4}} \right] \le 2 - 486 =  - 484\\ \Rightarrow F \le  - 484\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x + 1 = 5 - x \Rightarrow x = 2\)

Vậy GTLN của \(F\) là \( - 484 \Leftrightarrow x = 2\)

Đáp án cần chọn là: A

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

\(L = x + y + z - \left( {{x^2} + 2{y^2} + 4{z^2}} \right)\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải
Câu hỏi:565958
Phương pháp giải

+ Phân tích đa thức thành nhân tử là các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.

+ Sử dụng hằng đẳng thức \({\left( {a \pm b} \right)^2} = {a^2} \pm 2ab + {b^2}\) và \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\)

+ Để tìm GTLN của biểu thức \(A\), ta cần:

Chứng minh \(A \le k\) với \(k\) là hằng số. Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến. Tức là chỉ ra \(x = {x_0}\)  để \(A\left( {{x_0}} \right) = k\)

+ Bất đẳng thức \({a^2} + {b^2} \ge \dfrac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2}\). Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b\)

Giải chi tiết

b) \(L = x + y + z - \left( {{x^2} + 2{y^2} + 4{z^2}} \right)\)

       \(\begin{array}{l} =  - \left( {{x^2} - x + \dfrac{1}{4}} \right) - \left( {2{y^2} - y + \dfrac{1}{8}} \right) - \left( {4{z^2} - z + \dfrac{1}{{16}}} \right) + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \dfrac{1}{{16}}\\ = \dfrac{7}{{16}} - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - 2{\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - 4{\left( {z - \dfrac{1}{8}} \right)^2}\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0,\forall x\\{\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2} \ge 0,\forall y\\{\left( {z - \dfrac{1}{8}} \right)^2} \ge 0,\forall z\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \le 0,\forall x\\ - 2{\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2} \le 0,\forall y\\ - 4{\left( {z - \dfrac{1}{8}} \right)^2} \le 0,\forall z\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow  - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - 2{\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - 4{\left( {z - \dfrac{1}{8}} \right)^2} \le 0,\forall x,y,z\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{7}{{16}} - {\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - 2{\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2} - 4{\left( {z - \dfrac{1}{8}} \right)^2} \le \dfrac{7}{{16}},\forall x,y,z\\ \Rightarrow L \le \dfrac{7}{{16}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0\\{\left( {y - \dfrac{1}{4}} \right)^2} = 0\\{\left( {z - \dfrac{1}{8}} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = \dfrac{1}{4}\\z = \dfrac{1}{8}\end{array} \right.\)

Vậy GTLN của \(L\) là \(\dfrac{7}{{16}} \Leftrightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{8}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: C

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn