Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc cuối HK1 lớp 10, 11, 12 tất cả các môn - Trạm số 1 - Ngày 20-21/12/2025 Xem chi tiết
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Toán 8

Tìm GTNN hoặc GTLN của các biểu thức sau:

Tìm GTNN hoặc GTLN của các biểu thức sau:

Trả lời cho các câu 1, 2, 3, 4 dưới đây:

Câu hỏi số 1:
Vận dụng

\(A = \dfrac{{2{x^2} - 10x - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:565964
Phương pháp giải

+ Khi mẫu thức là bình phương của một đa thức

Biến đổi biểu thức: tử thức biến đổi thành tổng của các hạng tử, các hạng tử thoả mãn chứa nhân tử chung với mẫu.

+ Để tìm GTNN của biểu thức \(A\), ta cần:

Chứng minh \(A \ge k\) với \(k\) là hằng số. Chỉ ra dấu “=”  có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến. Tức là chỉ ra \(x = {x_0}\) để \(A\left( {{x_0}} \right) = k\)

+ Để tìm GTLN của biểu thức \(A\), ta cần:

Giải chi tiết

a) ĐKXĐ: \(x \ne 1\)

\(A = \dfrac{{2{x^2} - 10x - 1}}{{{x^2} - 2x + 1}} = \dfrac{{2{x^2} - 10x - 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,2{x^2} - 10x - 1\\ = \left( {2{x^2} - 4x + 2} \right) - \left( {6x - 6} \right) - 9\\ = 2\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) - 6\left( {x - 1} \right) - 9\\ = 2{\left( {x - 1} \right)^2} - 6\left( {x - 1} \right) - 9\end{array}\)

\( \Rightarrow A = \dfrac{{2{{\left( {x - 1} \right)}^2} - 6\left( {x - 1} \right) - 9}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

        \(\begin{array}{l} = 2 - \dfrac{6}{{x - 1}} - \dfrac{9}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\\ =  - \left[ {\dfrac{9}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} + \dfrac{6}{{x - 1}} + 1} \right] + 3\\ =  - {\left( {\dfrac{3}{{x - 1}} + 1} \right)^2} + 3\end{array}\)

Vì \({\left( {\dfrac{3}{{x - 1}} + 1} \right)^2} \ge 0,\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - {\left( {\dfrac{3}{{x - 1}} + 1} \right)^2} \le 0,\forall x\\ \Rightarrow  - {\left( {\dfrac{3}{{x - 1}} + 1} \right)^2} + 3 \le 3,\forall x\\ \Rightarrow A \le 3\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {\dfrac{3}{{x - 1}} + 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x =  - 2\)

Vậy GTLN của \(A\) là \(3 \Leftrightarrow x =  - 2\)

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 2:
Vận dụng

\(B = \dfrac{{{x^2} - 2x + 2015}}{{2015{x^2}}}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:565965
Phương pháp giải

+ Khi mẫu thức là bình phương của một đa thức

Biến đổi biểu thức: tử thức biến đổi thành tổng của các hạng tử, các hạng tử thoả mãn chứa nhân tử chung với mẫu.

+ Để tìm GTNN của biểu thức \(A\), ta cần:

Chứng minh \(A \ge k\) với \(k\) là hằng số. Chỉ ra dấu “=”  có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến. Tức là chỉ ra \(x = {x_0}\) để \(A\left( {{x_0}} \right) = k\)

+ Để tìm GTLN của biểu thức \(A\), ta cần:

Giải chi tiết

b) Ta có:

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{{{x^2} - 2x + 2015}}{{2015{x^2}}}\\ \Rightarrow 2015B = \dfrac{{{x^2} - 2x + 2015}}{{{x^2}}}\end{array}\)

   \(\begin{array}{l} = \dfrac{{{x^2}}}{{{x^2}}} - \dfrac{{2x}}{{{x^2}}} + \dfrac{{2015}}{{{x^2}}}\\ = 1 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{{2015}}{{{x^2}}}\end{array}\)

Đặt \(t = \dfrac{1}{x}\). Thay vào biểu thức trên ta được: \(2015B = 1 - 2t + 2015{t^2} \Rightarrow B = {t^2} - \dfrac{2}{{2015}}t + \dfrac{1}{{2015}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow B = \left( {{t^2} - \dfrac{2}{{2015}}t + \dfrac{1}{{{{2015}^2}}}} \right) + \dfrac{{2014}}{{{{2015}^2}}}\\ \Leftrightarrow B = {\left( {t - \dfrac{1}{{2015}}} \right)^2} + \dfrac{{2014}}{{{{2015}^2}}}\end{array}\)

Vì \({\left( {t - \dfrac{1}{{2015}}} \right)^2} \ge 0,\forall t\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {t - \dfrac{1}{{2015}}} \right)^2} + \dfrac{{2014}}{{{{2015}^2}}} \ge \dfrac{{2014}}{{{{2015}^2}}},\forall t\\ \Rightarrow B \ge \dfrac{{2014}}{{{{2015}^2}}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {t - \dfrac{1}{{2015}}} \right)^2} = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{{2015}}\)

Với \(t = \dfrac{1}{{2015}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{{2015}} \Rightarrow x = 2015\)

Vậy GTNN của \(B\) là \(\dfrac{1}{{2015}} \Leftrightarrow x = 2015\)

Đáp án cần chọn là: D

Câu hỏi số 3:
Vận dụng

\(C = \dfrac{{3{x^2} + 6x + 10}}{{{x^2} + 2x + 3}}\left( {x \ne 1} \right)\)

  

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải
Câu hỏi:565966
Phương pháp giải

+ Khi mẫu thức là bình phương của một đa thức

Biến đổi biểu thức: tử thức biến đổi thành tổng của các hạng tử, các hạng tử thoả mãn chứa nhân tử chung với mẫu.

+ Để tìm GTNN của biểu thức \(A\), ta cần:

Chứng minh \(A \ge k\) với \(k\) là hằng số. Chỉ ra dấu “=”  có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến. Tức là chỉ ra \(x = {x_0}\) để \(A\left( {{x_0}} \right) = k\)

+ Để tìm GTLN của biểu thức \(A\), ta cần:

Giải chi tiết

c) ĐKXĐ: \(x \ne 1\)

\(C = \dfrac{{3{x^2} + 6x + 10}}{{{x^2} + 2x + 3}}\)

   \(\begin{array}{l} = \dfrac{{3\left( {{x^2} + 2x + 3} \right) + 1}}{{{x^2} + 2x + 3}}\\ = \dfrac{{3\left( {{x^2} + 2x + 3} \right)}}{{{x^2} + 2x + 3}} + \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 3}}\\ = 3 + \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 3}}\end{array}\)

Ta có: \({x^2} + 2x + 3 = \left( {{x^2} + 2x + 1} \right) + 2 = {\left( {x + 1} \right)^2} + 2\)

Vì \({\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0,\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 2 \ge 2,\forall x\\ \Rightarrow {x^2} + 2x + 3 \ge 2,\forall x\end{array}\)

Ta có: \({x^2} + 2x + 3 \ge 2,\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 3}} \le \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow 3 + \dfrac{1}{{{x^2} + 2x + 3}} \le 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}\\ \Rightarrow C \le \dfrac{7}{2}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x =  - 1\) (thoả mãn)

Vậy GTLN của \(C\) là \(\dfrac{7}{2} \Leftrightarrow x =  - 1\)

Đáp án cần chọn là: B

Câu hỏi số 4:
Vận dụng

\(D = \dfrac{x}{{{x^2} + 10x + 25}}\left( {x \ne  - 5} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải
Câu hỏi:565967
Phương pháp giải

+ Khi mẫu thức là bình phương của một đa thức

Biến đổi biểu thức: tử thức biến đổi thành tổng của các hạng tử, các hạng tử thoả mãn chứa nhân tử chung với mẫu.

+ Để tìm GTNN của biểu thức \(A\), ta cần:

Chứng minh \(A \ge k\) với \(k\) là hằng số. Chỉ ra dấu “=”  có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến. Tức là chỉ ra \(x = {x_0}\) để \(A\left( {{x_0}} \right) = k\)

+ Để tìm GTLN của biểu thức \(A\), ta cần:

Giải chi tiết

d) ĐKXĐ: \(x \ne  - 5\)

\(D = \dfrac{x}{{{x^2} + 10x + 25}} = \dfrac{x}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{{\left( {x + 5} \right) - 5}}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{x + 5}} - \dfrac{5}{{{{\left( {x + 5} \right)}^2}}}\)

Đặt \(t = \dfrac{1}{{x + 5}}\). Thay vào \(D\), ta được: \(D = t - 5{t^2}\)

\( \Rightarrow  - D = 5{t^2} - t\)

\(\begin{array}{l} = 5\left( {{t^2} - \dfrac{1}{5}t} \right)\\ = 5\left( {{t^2} - 2.\dfrac{1}{{10}}t + \dfrac{1}{{100}}} \right) - \dfrac{1}{{20}}\\ = 5{\left( {t - \dfrac{1}{{10}}} \right)^2} - \dfrac{1}{{20}}\end{array}\)

Vì \({\left( {t - \dfrac{1}{{10}}} \right)^2} \ge 0,\forall t\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 5{\left( {t - \dfrac{1}{{10}}} \right)^2} \ge 0,\forall t\\ \Rightarrow 5{\left( {t - \dfrac{1}{{10}}} \right)^2} - \dfrac{1}{{20}} \ge  - \dfrac{1}{{20}},\forall t\\ \Rightarrow 5{t^2} - 5 \ge  - \dfrac{1}{{20}},\forall t\end{array}\)

Ta có: \(5{t^2} - 5 \ge  - \dfrac{1}{{20}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - D \ge  - \dfrac{1}{{20}}\\ \Rightarrow D \le \dfrac{1}{{20}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {t - \dfrac{1}{{10}}} \right)^2} = 0 \Rightarrow t = \dfrac{1}{{10}}\)

Với \(t = \dfrac{1}{{10}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{x + 5}} = \dfrac{1}{{10}} \Rightarrow x + 5 = 10 \Leftrightarrow x = 5\) (thoả mãn)

Vậy GTLN của \(D\) là \(\dfrac{1}{{20}} \Leftrightarrow x = 5\)

Đáp án cần chọn là: D

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn