Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn điều kiện: \(xyz = 1\). Tìm GTNN của biểu thức: \(E =

Câu hỏi số 565972:

Vận dụng

Cho \(x,y,z\) là các số dương thỏa mãn điều kiện: \(xyz = 1\). Tìm GTNN của biểu thức:

\(E = \dfrac{1}{{{x^3}(y + z)}} + \dfrac{1}{{{y^3}(z + x)}} + \dfrac{1}{{{z^3}(x + y)}}\).

A. GTNN của \(E\) là \(\dfrac{3}{2}\) \( \Leftrightarrow \) \(a = b = c = 1\).

B. GTNN của \(E\) là \(\dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \) \(a = b = c = 2\).

C. GTNN của \(E\) là \(\dfrac{3}{4}\) \( \Leftrightarrow \) \(a = b = c = 5\).

D. GTNN của \(E\) là \(\dfrac{3}{5}\) \( \Leftrightarrow \) \(a = b = c = \2).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565972

Phương pháp giải

+ Để tìm GTNN của biểu thức \(A\), ta cần:

Chứng minh \(A \ge k\) với \(k\) là hằng số. Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến. Tức là chỉ ra \(x = {x_0}\) để \(A\left( {{x_0}} \right) = k\)

+ Biến đổi điều kiện sau đó thay vào biểu thức.

+ Biến đổi biểu thức thành các phần có chứa điều kiện để thay thế.

+ Sử dụng bất đẳng thức Co-si: Với \(a,b\) không âm, ta có: \({a_1} + {a_2} + ... + {a_n} \ge n\sqrt[n]{{{a_1}.{a_2}...{a_n}}}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({a_1} = {a_2} = ... = {a_n}\)

Giải chi tiết

Đặt \(a = \dfrac{1}{x};b = \dfrac{1}{y};c = \dfrac{1}{z} \Rightarrow abc = \dfrac{1}{{xyz}} = 1\)

Do đó: \(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = a + b \Rightarrow x + y = (a + b).xy\)\( \Rightarrow x + y = c(a + b)\)

Tương tự: \(y + z = a\left( {b + c} \right);\;z + x = b\left( {c + a} \right)\)

\( \Rightarrow E = \dfrac{1}{{{x^3}}}.\dfrac{1}{{(y + z)}} + \dfrac{1}{{{y^3}}}.\dfrac{1}{{(z + x)}} + \dfrac{1}{{{z^3}}}.\dfrac{1}{{(x + y)}}\)

\(\begin{array}{l} = {a^3}.\dfrac{1}{{a(b + c)}} + {b^3}.\dfrac{1}{{b(c + a)}} + {c^3}.\dfrac{1}{{c(a + b)}}\\ = \dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}}\end{array}\)

Ta có: \(\dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}} \ge \dfrac{3}{2}\) (1)

Thật vậy: Đặt \(b + c = x;\;c + a = y;\;a + b = z\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow a + b + c = \dfrac{{x + y + z}}{2}\\ \Rightarrow a = \dfrac{{y + z - x}}{2};b = \dfrac{{z + x - y}}{2};c = \dfrac{{x + y - z}}{2}\end{array}\)

Khi đó, \(VT = \dfrac{a}{{b + c}} + \dfrac{b}{{c + a}} + \dfrac{c}{{a + b}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{y + z - x}}{{2x}} + \dfrac{{z + x - y}}{{2y}} + \dfrac{{x + y - z}}{{2z}}\\ = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{z}{x} + \dfrac{x}{z}} \right) + \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{z}{y} + \dfrac{y}{z}} \right) - \dfrac{3}{2}\\ \ge 1 + 1 + 1 - \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}\end{array}\)

Nhân hai vế (1) với \(a + b + c > 0\). Ta có:

\(\dfrac{{a(a + b + c)}}{{b + c}} + \dfrac{{b(a + b + c)}}{{c + a}} + \dfrac{{c(a + b + c)}}{{a + b}} \ge \dfrac{3}{2}(a + b + c)\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{a^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{b^2}}}{{c + a}} + \dfrac{{{c^2}}}{{a + b}} \ge \dfrac{{a + b + c}}{2}\)

Á dụng bất đẳng thức Co-si cho ba số \(a,b,c\) không âm, ta có:

\(\dfrac{{a + b + c}}{2} \ge \dfrac{{3\sqrt[3]{{abc}}}}{2} = \dfrac{3}{2}\)

\( \Rightarrow E \ge \dfrac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = c = 1\)

Vậy GTNN của \(E\) là \(\dfrac{3}{2}\) \( \Leftrightarrow \) \(a = b = c = 1\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link