Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn: \(4{x^2} + {y^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\). Tìm GTLN, GTNN

Câu hỏi số 565974:

Vận dụng cao

Cho \(x,y\) là các số thực thỏa mãn: \(4{x^2} + {y^2} = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\left( * \right)\).

Tìm GTLN, GTNN của biểu thức: \(a = \dfrac{{2x + 3y}}{{2x + y + 2}}\).

A. GTLN của \(a\) là \(1\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\)

GTNN của \(a\) là \( - 5\) khi\(\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{{10}}; - \dfrac{4}{5}} \right)\)

B. GTLN của \(a\) là \(0\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {2;1} \right)\)

GTNN của \(a\) là \( - 5\) khi\(\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{{10}}; - \dfrac{4}{5}} \right)\)

C. GTLN của \(a\) là \(1\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\)

GTNN của \(a\) là \( 5\) khi\(\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{{10}}; - \dfrac{4}{5}} \right)\)

D. GTLN của \(a\) là \(1\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\)

GTNN của \(a\) là \( 5\) khi\(\left( {x;y} \right) = \left( { \dfrac{3}{{10}}; \dfrac{4}{5}} \right)\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:565974

Phương pháp giải

+ Bất đẳng thức Bunhicopxki cho 2 bộ số: \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\). Khi đó:

\({\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2} \le \left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right)\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{{a_1}}}{{{b_1}}} = \dfrac{{{a_2}}}{{{b_2}}} = ... = \dfrac{{{a_n}}}{{{b_n}}}\)

+ Để tìm GTNN của biểu thức \(A\), ta cần:

Chứng minh \(A \ge k\) với \(k\) là hằng số. Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến. Tức là chỉ ra \(x = {x_0}\) để \(A\left( {{x_0}} \right) = k\)

+ Để tìm GTLN của biểu thức \(A\), ta cần:

Giải chi tiết

Ta có: \(a = \dfrac{{2x + 3y}}{{2x + y + 2}}\)

\( \Rightarrow a\left( {2x + y + z} \right) = 2x + 3y\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2ax + ay + 2a - 2x + 3y = 0\\ \Leftrightarrow 2\left( {a - 1} \right)x + \left( {a - 3} \right)y = - 2a\left( 1 \right)\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai bộ số \(\left( {2x,y} \right)\) và \(\left( {a - 1;a - 3} \right)\)

Ta có: \(4{a^2} = {\left[ {2x\left( {a - 1} \right) + y\left( {a - 3} \right)} \right]^2} \le \left( {4{x^2} + {y^2}} \right)\left[ {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a - 3} \right)}^2}} \right]\)

\( \Rightarrow 4{a^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 3} \right)^2}\) (Vì \(4{x^2} + {y^2} = 1\))

Do đó ta có: \(4{a^2} \le {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {a - 3} \right)^2} = {a^2} - 2a + 1 + {a^2} - 6a + 9\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow 2{a^2} + 8a - 10 \le 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + 4a - 5 \le 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow (a - 1)(a + 5) \le 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 5 \ge 0\\a - 1 \le 0\end{array} \right.\) (Vì \(a + 5 > a - 1\))

\( \Leftrightarrow 1 \le a \le 5\)

+ Thay \(a = 1\) vào (1) ta được:\( - 2y = - 2 \Rightarrow y = 1\)

+ Thay \(y = 1\) vào (*) ta có: \(x = 0 \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\)

+ Thay \(a = - 5\) vào (1) ta được: \(2\left( { - 5 - 1} \right)x + \left( { - 5 - 3} \right)y = 10\)

\( \Rightarrow - 12x - 8y = 10 \Leftrightarrow 6x + 4y = - 5 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 6x - 5}}{4}\)

+ Thay vào (*) ta được: \(4{x^2} + {\left( {\dfrac{{ - 6x - 5}}{4}} \right)^2} = 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 100{x^2} + 60x + 9 = 0\\ \Rightarrow x = - \dfrac{3}{{10}} \Rightarrow y = - \dfrac{4}{5}\end{array}\)

\( \Rightarrow (x;y) = \left( {\dfrac{{ - 3}}{{10}};\dfrac{{ - 4}}{5}} \right)\)

Vậy GTLN của \(a\) là \(1\) khi \(\left( {x;y} \right) = \left( {0;1} \right)\)

GTNN của \(a\) là \( - 5\) khi\(\left( {x;y} \right) = \left( { - \dfrac{3}{{10}}; - \dfrac{4}{5}} \right)\)

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link