Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm:a) \({x^4} - 3{x^2} + 6x + 13 = 0\)b) \(2{x^4} - 10{x^2} + 17 =

Câu hỏi số 566291:

Vận dụng cao

Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm:

a) \({x^4} - 3{x^2} + 6x + 13 = 0\)

b) \(2{x^4} - 10{x^2} + 17 = 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566291

Phương pháp giải

+ Để giải phương trình bậc cao, ta biến đổi, rút gọn để phương trình về dạng phương trình có vế trái là một đa thức bậc cao, vế phải bằng \(0\).

+ Vận dụng các kỹ thuật phân tích đa thức thành nhân tử để đưa phương trình về dạng phương trình tích.

+ Giải phương trình tích và kết luận.

+ Hằng đẳng thức: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) và \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\)

Giải chi tiết

a) \({x^4} - 3{x^2} + 6x + 13 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^4} - 4{x^2} + 4} \right) + \left( {{x^2} + 6x + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^2} = 0\left( * \right)\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 2} \right)^2} \ge 0,\forall x\\{\left( {x + 3} \right)^2} \ge 0,\forall x\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{x^2} - 2} \right)^2} + {\left( {x + 3} \right)^3} \ge 0,\forall x\)

Phương trình (*) xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 2} \right)^2} = 0\\{\left( {x + 3} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm \sqrt 2 \\x = - 3\end{array} \right.\) (Vô lý)

Vậy phương trình \({x^4} - 3{x^2} + 6x + 13 = 0\) vô nghiệm.

b) \(2{x^4} - 10{x^2} + 17 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {{x^4} - 2{x^2} + 1} \right) + \left( {{x^4} - 8{x^2} + 16} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} = 0\left( 1 \right)\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {{x^2} - 1} \right)^2} \ge 0,\forall x\\\left( {{x^2} - 4} \right) \ge 0,\forall x\end{array} \right. \Rightarrow {\left( {{x^2} - 1} \right)^2} + {\left( {{x^2} - 4} \right)^2} \ge 0,\forall x\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{x^2} - 1} \right) = 0\\\left( {{x^2} - 4} \right) = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \pm 1\\x = \pm 2\end{array} \right.\) (Vô lý)

Vậy phương trình \(2{x^4} - 10{x^2} + 17 = 0\) vô nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link