Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm:a) \(3{x^4} - 5{x^3} + 8{x^2} - 5x + 3 = 0\)b) \({x^4} - 2{x^3} +

Câu hỏi số 566292:

Vận dụng cao

Chứng minh các phương trình sau vô nghiệm:

a) \(3{x^4} - 5{x^3} + 8{x^2} - 5x + 3 = 0\)

b) \({x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - 2x + 1 = 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:566292

Phương pháp giải

Đặt ẩn phụ để hạ bậc luỹ thừa của ẩn ban đầu.

+ Với phương trình đối xứng: \(a{x^4} + b{x^3} + c{x^2} + bx + a = 0\left( 2 \right)\)

\(x = 0\) không là nghiệm của phương trình (2)

Xét \(x \ne 0\), chia cả hai vế của (2) cho \({x^2}\), ta được: \(a{x^2} + bx + x + \dfrac{b}{x} + \dfrac{a}{{{x^2}}} = 0\)

Đặt \(t = x + \dfrac{1}{x} \Rightarrow {t^2} - 2 = {x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow a\left( {{y^2} - 2} \right) + by + c = 0\)

+ Hằng đẳng thức: \({\left( {a + b} \right)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2}\) và \({a^2} - {b^2} = \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\)

Giải chi tiết

a) \(3{x^4} - 5{x^3} + 8{x^2} - 5x + 3 = 0\)

Ta có: \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình trên.

Xét \(x \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình cho \({x^2}\), ta được:

\(\begin{array}{l}\quad 3{x^2} - 5x + 8 - \dfrac{5}{x} + \dfrac{3}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 5\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 8 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = x + \dfrac{1}{x}\). Thay vào phương trình ta được:

\(\begin{array}{l}\quad 3{t^2} - 5t + 8 = 0\\ \Leftrightarrow 3\left( {{t^2} - \dfrac{5}{3}t + \dfrac{{25}}{{36}}} \right) + \dfrac{{71}}{{36}} = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 3{\left( {t - \dfrac{5}{6}} \right)^2} + \dfrac{{71}}{{36}} = 0\left( * \right)\)

Mặt khác \(3{\left( {t - \dfrac{5}{6}} \right)^2} + \dfrac{{71}}{{36}} \ge \dfrac{{71}}{{36}} > 0,\forall x \Rightarrow \left( * \right)\) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

b) \({x^4} - 2{x^3} + 4{x^2} - 2x + 1 = 0\)

Ta có: \(x = 0\) không là nghiệm của phương trình trên.

Xét \(x \ne 0\), chia cả 2 vế của phương trình cho \({x^2}\), ta được:

\(\begin{array}{l}\quad {x^2} - 2x + 4 - \dfrac{2}{x} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {{x^2} + \dfrac{1}{{{x^2}}}} \right) - 2\left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) + 4 = 0\end{array}\)

Đặt \(t = x + \dfrac{1}{x}\). Thay vào phương trình ta được: \({t^2} - 2t + 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} + 3 = 0\left( * \right)\)

Mặt khác \({\left( {t - 1} \right)^2} + 3 \ge 3 > 0,\forall x \Leftrightarrow \left( * \right)\) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link