Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:a) \({y^2} = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\left(

Câu hỏi số 568181:

Thông hiểu

Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:

a) \({y^2} = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\left( {x + 8} \right)\)

b) \(x{y^2} - {\left( {y - 45} \right)^2} + 2xy + x - 220y + 2024 = 0\)

c) \({x^2} + {y^2} - x - y = 8\)

d) \(4{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568181

Phương pháp giải

Đưa về dạng tổng các bình phương hoặc phương trình ước số

+ Biến đổi phương trình về dạng một vế là một tổng bình phương của các biểu thức chứa ẩn, vế còn lại là tổng bình phương của các số nguyên ( Số số hạng của hai vế là bằng nhau )

\({A^2} + {B^2} + {C^2} = {m^2} + {n^2} + {p^2}\left( {m,n,p \in \mathbb{Z}} \right)\)

Ta sẽ đi giải các phương trình tương ứng sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{A^2} = {m^2}\\{B^2} = {n^2}\\{C^2} = {p^2}\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}{A^2} = {n^2}\\{B^2} = {m^2}\\{C^2} = {p^2}\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}{A^2} = {p^2}\\{B^2} = {m^2}\\{C^2} = {n^2}\end{array} \right.\)

+ Biến đổi phương trình về dạng một vế là tích của các đa thức chứa ẩn, vế còn lại là tích của các số nguyên ( Số nhân tử của hai vế bằng nhau )

\(A.B.C = m.n.p(m,n,p \in Z)\)

Ta giải các phương trình tương ứng sau: \(\left\{ \begin{array}{l}A = m\\B = n\\C = p\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}A = n\\B = p\\C = m\end{array} \right.;\left\{ \begin{array}{l}A = p\\B = m\\C = n\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

a) \({y^2} = x\left( {x + 1} \right)\left( {x + 7} \right)\left( {x + 8} \right)\)\( = \left( {{x^2} + 8x} \right)\left( {{x^2} + 8x + 7} \right)\)

Đặt \({x^2} + 8x = t\). Thay vào phương trình ta được: \({y^2} = t\left( {t + 7} \right) = {t^2} + 7t\)

\(\begin{array}{l} = \left( {{t^2} + 7t + \dfrac{{49}}{4}} \right) - \dfrac{{49}}{4}\\ = {\left( {t + \dfrac{7}{2}} \right)^2} - \dfrac{{49}}{4}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {2y} \right)^2} = {\left( {2t + 7} \right)^2} - 49\\ \Leftrightarrow {\left( {2t + 7} \right)^2} - {\left( {2y} \right)^2} = 49\\ \Leftrightarrow \left( {2t + 7 - 2y} \right)\left( {2t + 7 + 2y} \right) = 49\end{array}\)

Đặt \(2t + 7 = z\). Thay vào phương trình trên ta được: \(\left( {z - 2y} \right)\left( {z + 2y} \right) = 49\)

Do \(x,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {z - 2y} \right);\left( {z + 2y} \right) \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow z - 2y;z + 2y \in U\left( {49} \right)\)

Ta có: \(49 = - 1. - 49 = - 49. - 1 = - 7. - 7 = 1.49 = 49.1 = 7.7\)

+ Trường hợp 1: \(\left\{ \begin{array}{l}z - 2y = - 1\\z + 2y = - 49\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 49 + 2y\\49 + 2y + 2y = - 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 49 + 2y\\4y = - 98\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - \dfrac{{49}}{2}\\z = 0\end{array} \right.\left( L \right)\)

+ Trường hợp 2: \(\left\{ \begin{array}{l}z - 2y = - 7\\z + 2y = - 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2y - 7\\2y - 7 + 2y = - 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2y - 7\\4y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\z = - 7\end{array} \right.\left( C \right)\)

Với \(z = - 7\) thì \(2t + 7 = - 7 \Rightarrow t = - 7\)

Với \(t = - 7\) thì \({x^2} + 8x = - 7 \Leftrightarrow {x^2} + 8x + 7 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} + x + 7x + 7 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x + 7} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = - 7\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {x,y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1;0} \right),\left( { - 7;0} \right)} \right\}\)

+ Trường hợp 3: \(\left\{ \begin{array}{l}z - 2y = 1\\z + 2y = 49\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2y + 1\\2y + 1 + 2y = 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2y + 1\\4y = 48\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 12\\z = 25\end{array} \right.\left( C \right)\)

Với \(z = 25\) thì \(2t + 7 = 25 \Rightarrow t = 9\)

Với \(t = 9\) thì \({x^2} + 8x = 9 \Leftrightarrow {x^2} + 8x - 9 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^2} - x + 9x - 9 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 9} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 9\end{array} \right.\end{array}\)

+ Trường hợp 4: \(\left\{ \begin{array}{l}z - 2y = 7\\z + 2y = 7\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2y + 7\\2y + 7 + 2y = 7\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 0\\z = 7\end{array} \right.\left( C \right)\)

Với \(z = 7\) thì \(2t + 7 = 7 \Rightarrow t = 0\)

Với \(t = 0\) thì \({x^2} + 8x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 8\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {0;0} \right),\left( { - 8;0} \right)} \right\}\)

+ Trường hợp 5: \(\left\{ \begin{array}{l}z - 2y = 49\\z + 2y = 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2y + 49\\2y + 49 + 2y = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2y + 49\\4y = - 48\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = - 12\\z = 25\end{array} \right.\left( C \right)\)

Với \(z = 25\) thì \(2t + 7 = 25 \Rightarrow t = 9\)

Với \(t = 9 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 9\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 1; - 12} \right),\left( {9; - 12} \right)} \right\}\)

+ Trường hợp 6: \(\left\{ \begin{array}{l}z - 2y = - 49\\z + 2y = - 1\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2y - 49\\2y - 49 + 2y = 49\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}z = 2y - 49\\4y = 98\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = \dfrac{{49}}{2}\\z = 0\end{array} \right.\left( L \right)\)

\( \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;12} \right),\left( { - 9;12} \right)} \right\}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( { - 1;0} \right),\left( { - 7;0} \right),\left( {1;12} \right),\left( { - 9;12} \right),\left( { - 1; - 12} \right),\left( {9; - 12} \right),\left( {0;0} \right),\left( { - 8;0} \right)} \right\}\)

b) \(x{y^2} - {\left( {y - 45} \right)^2} + 2xy + x - 220y + 2024 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow x{y^2} + xy - {y^2} - 129y + xy + x - y - 129 = - 128\\ \Leftrightarrow xy\left( {y + 1} \right) - y\left( {y + 1} \right) - 129\left( {y + 1} \right) + x\left( {y + 1} \right) = - {2^7}\\ \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right)\left( {xy + x - y - 129} \right) = - {2^7}\end{array}\)

Vì \(x,y \in \mathbb{Z} \Rightarrow y + 1;xy + x - y - 129 \in \mathbb{Z}\)

\( \Rightarrow y + 1;xy + x - y - 129 \in U\left( { - {2^7}} \right)\)

Mặt khác \( - {2^7} = 2. - {2^6} = {2^2}. - {2^5} = {2^3}. - {2^4} = {2^4}. - {2^3} = {2^5}. - {2^2} = {2^6}. - 2\)

Ta có bảng sau:

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( {33;1} \right),\left( {25;3} \right),\left( {15;7} \right)} \right\}\)

c) \({x^2} + {y^2} - x - y = 8(1)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^2} - 4x + 4{y^2} - 4y = 32\\ \Leftrightarrow {(2x - 1)^2} + {(2y - 1)^2} = {5^2} + {3^2}\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{(2x - 1)^2} = {3^2}\\{(2y - 1)^2} = {5^2}\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}{(2x - 1)^2} = {5^2}\\{(2y - 1)^2} = {3^2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 2;x = - 1\\y = 3;y = - 2\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3;x = - 2\\y = 2;y = - 1\end{array} \right.\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( {2;3} \right),\left( {2; - 2} \right),\left( {1;3} \right),\left( { - 1; - 2} \right),\left( {3;2} \right),\left( {3; - 1} \right),\left( { - 2;2} \right),\left( { - 2; - 1} \right)} \right\}\)

d) \(4{x^2} + 2{y^2} + 2{z^2} - 4xy - 4xz + 2yz - 6y - 10z + 34 = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(2x)^2} - 4x(y + z) + ({y^2} + 2yz + {z^2}) + ({y^2} - 6y) + ({z^2} - 10z) + 34 = 0\\ \Leftrightarrow {(2x - x - y)^2} + ({y^2} - 6y + 9) + ({z^2} - 10z + 25) = 0\end{array}\)

\( \Leftrightarrow {(2x - y - z)^2} + {(y - 3)^2} + {(z - 5)^2} = 0\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {2x - y - z} \right)^2} = 0\\{\left( {y - 3} \right)^2} = 0\\{\left( {z - 5} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 4\\y = 3\\z = 5\end{array} \right.\)

Vậy nghiệm của phương trình là \(\left( {4;3;5} \right)\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link