Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2022\\{u_{n + 1}} = \sqrt[{n + 1}]{{u_n^n + \dfrac{1}{{{{2022}^n}}}}}\end{array} \right.\left( {n \ge 2} \right)\). Tính giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)

Câu 566432: Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định như sau: \(\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 2022\\{u_{n + 1}} = \sqrt[{n + 1}]{{u_n^n + \dfrac{1}{{{{2022}^n}}}}}\end{array} \right.\left( {n \ge 2} \right)\). Tính giới hạn của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)

A. \( - 1\)

B. \(0\)

C. \(\dfrac{1}{2}\)

D. \(1\)

Câu hỏi : 566432

Quảng cáo

Phương pháp giải:

+ Tìm CTTQ của dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\)

+ Sử dụng chức năng CALC để tính giá trị giới hạn

Đáp án : D
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \({u_n} > 0,\forall n \in {\bf{N}}*\) và \(u_{n + 1}^{n + 1} = u_n^n + \dfrac{1}{{{{2022}^n}}} \Rightarrow u_{n + 1}^{n + 1} - u_n^n = \dfrac{1}{{{{2022}^n}}}\)
Do đó: \(u_2^2 - u_1^1 = \dfrac{1}{{{{2022}^1}}};u_3^3 - u_2^2 = \dfrac{1}{{{{2022}^2}}};...;u_n^n - u_{n - 1}^{n - 1} = \dfrac{1}{{{{2022}^{n - 1}}}}\)
Suy ra: \(u_n^n - u_1^1 = \dfrac{1}{{{{2022}^1}}} + \dfrac{1}{{{{2022}^2}}} + ... + \dfrac{1}{{{{2022}^{n - 1}}}} = \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{{2022}}} \right)}^{n - 1}}}}{{2021}}\)
Vậy \({u_n} = \sqrt[n]{{2022 + \dfrac{{1 - {{\left( {\dfrac{1}{{2022}}} \right)}^{n - 1}}}}{{2021}}}}\)
Nhập dãy số vào máy tính
CALC \(x = 9999999999\) ta được

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.