Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left(

Câu hỏi số 567047:

Vận dụng

Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\).

a) Rút gọn \(P\) (1 điểm)

b) Tính giá trị của \(P\) biết \(x = 7 - 4\sqrt 3 \) (0,5 điểm)

c) Tìm \(x\) biết \(P = \dfrac{3}{2}\) (0,5 điểm)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:567047

Giải chi tiết

Cho biểu thức \(P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\).

a) Rút gọn \(P\) (1 điểm)

\(\begin{array}{l}P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{x - \sqrt x }}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{2}{{x - 1}}} \right)\\P = \left( {\dfrac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{1}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\left( {\dfrac{1}{{\sqrt x + 1}} + \dfrac{2}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}} \right)\\P = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\P = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}:\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\P = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}}.\dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x + 1}}\\P = \dfrac{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}{{\sqrt x }}\\P = \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }}\end{array}\)

ĐKXĐ: \(x > 0,\,\,x \ne 1\).

b) Tính giá trị của \(P\) biết \(x = 7 - 4\sqrt 3 \) (0,5 điểm)

\(x = 7 - 4\sqrt 3 = {2^2} - 2.2\sqrt 3 + {\left( {\sqrt 3 } \right)^2} = {\left( {2 - \sqrt 3 } \right)^2}\,\,\left( {tmdk} \right)\)

Thay vào \(P\):

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{\left( {7 - 4\sqrt 3 } \right) - 1}}{{\sqrt {{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)}^2}} }} = \dfrac{{6 - 4\sqrt 3 }}{{2 - \sqrt 3 }} = \dfrac{{\left( {6 - 4\sqrt 3 } \right).\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}{{\left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)}}\\P = \dfrac{{12 + 6\sqrt 3 - 8\sqrt 3 - 12}}{{4 - 3}} = \dfrac{{ - 2\sqrt 3 }}{1} = - 2\sqrt 3 \end{array}\)

c) Tìm \(x\) biết \(P = \dfrac{3}{2}\) (0,5 điểm)

\(P = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow \dfrac{{x - 1}}{{\sqrt x }} = \dfrac{3}{2} \Leftrightarrow 2\left( {x - 1} \right) = 3\sqrt x \Leftrightarrow 2x - 3\sqrt x - 2 = 0\)

Đặt \(\sqrt x = t\,\,\left( {t > 0,\,t \ne 1} \right)\).

Phương trình \( \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t - 2 = 0\)

\(\Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4.2.\left( { - 2} \right) = 25 > 0\)

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \(t = \dfrac{{3 + \sqrt {25} }}{4} = 2\,\,\left( {tm} \right),\,\,t = \dfrac{{3 - \sqrt {25} }}{4} = - \dfrac{1}{2}\,\,\left( {ktm} \right)\).

\(t = 2 \Leftrightarrow \sqrt x = 2 \Leftrightarrow x = 4\,\,\left( {tmdk} \right)\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.