Cho Parapol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = \left( {2m + 1}

Câu hỏi số 567102:

Vận dụng

Cho Parapol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = \left( {2m + 1} \right)x - 2m\).

a. Khi \(m = 1\). Xác định toạ độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

b. Tìm \(m\) để \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(P\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,Q\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) sao cho biểu thức \(T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:567102

Giải chi tiết

Cho Parapol \(\left( P \right):\,\,y = {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):\,\,y = \left( {2m + 1} \right)x - 2m\).

a. Khi \(m = 1\). Xác định toạ độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\).

\(m = 1 \Rightarrow \left( d \right):\,\,y = 3x - 2\). Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) :

\({x^2} = 3x - 2 \Leftrightarrow {x^2} - 3x + 2 = 0\).

Ta có \(1 + \left( { - 3} \right) + 2 = 0\) nên phương trình có 2 nghiệm \(x = 1,\,\,x = 2\).

\(\begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow y = {1^2} = 1 \Rightarrow A\left( {1;1} \right)\\x = 2 \Rightarrow y = {2^2} = 4 \Rightarrow B\left( {2;4} \right)\end{array}\)

b. Tìm \(m\) để \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) cắt nhau tại hai điểm phân biệt \(P\left( {{x_1};\,\,{y_1}} \right),\,\,Q\left( {{x_2};\,\,{y_2}} \right)\) sao cho biểu thức \(T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right)\) :

\({x^2} = \left( {2m + 1} \right)x - 2m \Leftrightarrow {x^2} - \left( {2m + 1} \right)x + 2m = 0\) (1)

*) \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại 2 điểm phân biệt \( \Leftrightarrow pt\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm phân biệt

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta > 0 \Leftrightarrow {\left[ { - \left( {2m + 1} \right)} \right]^2} - 4.1.2m > 0\\ \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 - 8m > 0 \Leftrightarrow 4{m^2} - 4m + 1 > 0\\ \Leftrightarrow {\left( {2m - 1} \right)^2} > 0 \Leftrightarrow 2m - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne \dfrac{1}{2}\end{array}\)

*) \(y = {x^2} \Rightarrow {y_1} = x_1^2,\,\,{y_2} = x_2^2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T = {y_1} + {y_2} - {x_1}{x_2} = x_1^2 + x_2^2 - {x_1}{x_2}\\T = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} - {x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 3{x_1}{x_2}\end{array}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình (1) : \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 1\\{x_1}{x_2} = 2m\end{array} \right.\)

Khi đó \(T = {\left( {2m + 1} \right)^2} - 3.2m = 4{m^2} + 4m + 1 - 6m = 4{m^2} - 2m + 1\).

\(T = {\left( {2m} \right)^2} - 2.2m.\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} = {\left( {2m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4}\)

Ta có \({\left( {2m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\,\,\forall m \Leftrightarrow {\left( {2m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} + \dfrac{3}{4} \ge \dfrac{3}{4}\,\,\forall m \Leftrightarrow T \ge \dfrac{3}{4}\,\,\forall m\).

\( \Rightarrow {T_{\min }} = \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow {\left( {2m - \dfrac{1}{2}} \right)^2} = 0 \Leftrightarrow 2m - \dfrac{1}{2} = 0 \Leftrightarrow m = \dfrac{1}{4}\) (tmđk)

Vậy \(m = \dfrac{1}{4}\) thì \({T_{\min }} = \dfrac{3}{4}\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link