Tìm nghiệm nguyên của phương trình:a) \({y^3} = 1 + x + {x^2} + {x^3}\)b) \({y^3} = {x^3} + 2{x^2} + 3x +

Câu hỏi số 568182:

Thông hiểu

Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

a) \({y^3} = 1 + x + {x^2} + {x^3}\)

b) \({y^3} = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 2\)

c) \({x^4} + {x^3} + {x^2} + x = {y^2} + 3y\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568182

Phương pháp giải

+ Giữa hai số chính phương ( lập phương) liên tiếp không có số chính phương (lập phương ) nào cả

+ \(\left\{ \begin{array}{l}a,b \in Z\\{(b - 1)^2} < {a^2} < {(b + 1)^2}\end{array} \right. \to {a^2} = b{}^2\)

+ Với \(a,n \in N(a,n > 1,x,y \in Z)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^n} < {y^n} < {(x + a)^n}\\ \Rightarrow {y^n} = {(x + i)^n}(i = \overline {1,a - 1} )\end{array}\)

Giải chi tiết

a) Ta có: \({x^2} + x + 1 > 0\) và \(5{x^2} + 11x + 7 > 0,\forall x\)

Do đó: \({x^3} < {x^3} + {x^2} + x + 1 < {x^3} + {x^2} + x + 1 + 5{x^2} + 11x + 7\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {x^3} < {y^3} < {\left( {x + 2} \right)^3}\\ \Rightarrow {y^3} = {\left( {x + 1} \right)^3}\\ \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^3} = {x^3} + {x^2} + x + 1\\ \Rightarrow x\left( {x + 1} \right) = 0\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( {0;1} \right),\left( { - 1;0} \right)} \right\}\)

b) \({y^3} = {x^3} + 2{x^2} + 3x + 2\)

Ta có:

+ \(y{}^3 - {x^3} = 2{x^2} + 3x + 2 = 2{(x + \dfrac{3}{4})^2} + \dfrac{7}{8} \ge \dfrac{7}{8} > 0\)

+ \({(x + 2)^3} - {y^3} = 4{x^2} + 9x + 6 = {(2x + \dfrac{9}{4})^2} + \dfrac{{15}}{{16}} \ge \dfrac{{15}}{6} > 0\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {x^3} < {y^3} < {(x + 2)^3}\\ \Rightarrow x < y < x + 2\\ \Rightarrow y = x + 1\\ \Rightarrow {x^2} = 1\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right. \to \left[ \begin{array}{l}y = 2\\y - 0\end{array} \right. \Rightarrow \left( {x;y} \right) = \left\{ {(1;2);( - 1;0)} \right\}\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {(1;2);( - 1;0)} \right\}\)

c) \({x^4} + {x^3} + {x^2} + x = {y^2} + 3y(1)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{x^4} + 4{x^3} + 4{x^2} + 4x = 4({y^2} + 3y)\\ \Leftrightarrow {(2{x^2} + x)^2} + 3{x^2} + 4x + 9 = {(2y + 3)^2}(2)\end{array}\)

Ta có:

+ \({(2y + 3)^2} - {(2{x^2} + x)^2} = 3{x^2} + 4x + 9 = 3{(x + \dfrac{2}{3})^2} + \dfrac{{23}}{3} \ge \dfrac{{23}}{3} > 0\)

+ \({(2{x^2} + x + 4)^2} - {(2y + 3)^2} = 13{x^2} + 4x + 7\)\( = (x + 2){}^2 + 12{x^2} + 3 \ge 3 > 0\)

\( \Rightarrow {(2{x^2} + x)^2} < {(2y + 3)^2} < {(2{x^2} + x + 4)^2}\)

Vì \(2{x^2} + x < \left| {2y + 3} \right| < 2{x^2} + x + 4\)

+) \(\left| {2y + 3} \right| = 2{x^2} + x + 1\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {(2y + 3)^2} = {(2{x^2} + x + 1)^2}\\ \Rightarrow {x^2} - 2x - 8 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 4\\x = - 2\end{array} \right.\quad \quad \quad \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {2y + 3} \right| = 37\\\left| {2y + 3} \right| = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 3 = 37\\2y + 3 = - 37\\2y + 3 = 7\\2y + 3 = - 7\end{array} \right. \Rightarrow y \in \left\{ {17; - 20;2; - 5} \right\}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( { - 2; - 5} \right),\left( { - 2;2} \right),\left( {4; - 20} \right),\left( {4;17} \right)} \right\}\)

+) \(\left| {2y + 3} \right| = 2{x^2} + x + 2\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {2y + 3} \right)^2} = {\left( {2{x^2} + x + 2} \right)^2}\\ \Rightarrow {x^2} - 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {2y + 3} \right| = 5\\\left| {2y + 3} \right| = 3\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 3 = 5\\2y + 3 = - 5\\2y + 3 = 3\\2y + 3 = - 3\end{array} \right. \Rightarrow y \in \left\{ {1;0; - 4; - 3} \right\}\end{array}\)

\( \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;1} \right),\left( {1; - 4} \right);\left( { - 1;0} \right),\left( { - 1; - 3} \right)} \right\}\)

+) \(\left| {2y + 3} \right| = 2{x^2} + x + 3\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {2y + 3} \right)^2} = {\left( {2{x^2} + x + 3} \right)^2}\\ \Rightarrow x\left( {{x^2} + \dfrac{2}{9}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\left( C \right)\\{x^2} = - \dfrac{2}{9}\left( L \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left| {2y + 3} \right| = 3\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2y + 3 = 3\\2y + 3 = - 3\end{array} \right. \Rightarrow y \in \left\{ {0; - 3} \right\}\\ \Rightarrow \left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {0;0} \right),\left( {0; - 3} \right)} \right\}\end{array}\)

Vậy tập nghiệm của phương trình là

\(S = \left\{ {\left( {0;0} \right),\left( {0; - 3} \right),\left( {1;1} \right),\left( {1; - 4} \right);\left( { - 1;0} \right),\left( { - 1; - 3} \right),\left( { - 2; - 5} \right),\left( { - 2;2} \right),\left( {4; - 20} \right),\left( {4;17} \right)} \right\}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link