Tìm nghiệm của các phương trình sau : a) \({x^2}{y^2}\left( {x + y} \right) + x + y = 3 + xy\) b) \(2{x^4} +
Tìm nghiệm của các phương trình sau :
a) \({x^2}{y^2}\left( {x + y} \right) + x + y = 3 + xy\)
b) \(2{x^4} + 3x{}^2 = x{}^3 + {x^2}y + x + y + 16\)
c) \({x^2}y + xy - 2{x^2} - 3x + 4 = 0\)
Quảng cáo
Ta tách các biểu thức phân thức thành phần nguyên và phần phân, sau đó đánh giá phần phân để tìm ra các nghiệm của phương trình
\(x = \dfrac{{f(y)}}{{g(y)}} = k + \dfrac{c}{{g(y)}}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow c \vdots g\left( y \right) \Leftrightarrow g\left( y \right) \in U\left( c \right)\)
a) \({x^2}{y^2}\left( {x + y} \right) + x + y = 3 + xy\)
Đặt \(a = x + y;b = xy\)với \(a,b \in \mathbb{Z}\). Thay vào phương trình trên, ta có: \(a{b^2} + a = 3 + b\)
Xét \(b = 3 \Rightarrow a = \dfrac{3}{5}\) (Vô lý)
Xét \(b \ne 3\), ta có:
\(\begin{array}{l}\quad a{b^2} + a = 3 + b\\ \Leftrightarrow a\left( {{b^2} + 1} \right) = 3 + b\\ \Leftrightarrow a = \dfrac{{3 + b}}{{{b^2} + 1}}\\ \Leftrightarrow a\left( {b - 3} \right) = \dfrac{{\left( {b + 3} \right)\left( {b - 3} \right)}}{{{b^2} + 1}} = \dfrac{{{b^2} - 9}}{{{b^2} + 1}}\\ \Leftrightarrow a\left( {b - 3} \right) = 1 + \dfrac{{ - 10}}{{{b^2} + 1}}\end{array}\)
Để \(\dfrac{{ - 10}}{{{b^2} + 1}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left( {{b^2} + 1} \right) \in \mathbb{N}*\\{b^2} + 1 \in U\left( {10} \right) = \left\{ {1;2;5;10} \right\}\end{array} \right. \Rightarrow b \in \left\{ {0; \pm 1; \pm 2; - 3} \right\}\)
Nếu \(b = 0\) thì \(a = 3\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 3\\xy = 0\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 0\end{array} \right.\end{array} \right.\)
Nếu \(b = 1\) thì \(a = 2\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 2\\xy = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right.\)
Nếu \(b = - 1\) thì \(a = 1\). Ta có:
\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\xy = - 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - x\\x\left( {1 - x} \right) = - 1\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - x\\{x^2} - x - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - x\\{\left( {x - \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{5}{4} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - x\\\left[ \begin{array}{l}x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}\\x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{{ - \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y = 1 - x\\x = \dfrac{{1 \pm \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\left( L \right)\end{array}\)
Nếu \(b = 2\) thì \(a = 1\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 1\\xy = 2\end{array} \right.\) (Vô nghiệm)
Nếu \(b = - 2\) thì \(a = \dfrac{1}{5}\) (L)
Nếu \(b = - 3\) thì \(a = 0\). Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + y = 0\\xy = - 3\end{array} \right.\) (Vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của phương trình là: \(S = \left\{ {\left( {0;3} \right),\left( {3;0} \right),\left( {1;1} \right)} \right\}\)
b) \(2{x^4} + 3x{}^2 = x{}^3 + {x^2}y + x + y + 16\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow y({x^2} + 1) = 2{x^4} - {x^3} + 3{x^2} - x - 16\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{2{x^4} - {x^3} + 3{x^2} - x - 16}}{{{x^2} + 1}}({x^2} + 1 > 0)\\ \Leftrightarrow y = \dfrac{{2{x^2}({x^2} + 1) - x({x^2} + 1) + ({x^2} + 1) - 17}}{{{x^2} + 1}}\\ \Leftrightarrow y = 2{x^2} - x + 1 - \dfrac{{17}}{{{x^2} + 1}}\left( * \right)\end{array}\)
Vì \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {2{x^2} - x + 1} \right) \in \mathbb{Z}\)
Để \(y \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \dfrac{{17}}{{{x^2} + 1}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left( {{x^2} + 1} \right) \in U\left( {17} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 1} \right) \in \left\{ {1;17} \right\}\) (Vì \({x^2} + 1 > 0\))
+ Với \({x^2} + 1 = 1 \Rightarrow x = 0\). Thay vào \(\left( * \right)\) ta được \(y = - 16\)
+ Với \({x^2} + 1 = 17 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 4\\x = 4\end{array} \right.\). Thay vào \(\left( * \right)\) ta được \(\left( {x;y} \right) \in \left\{ {\left( {4;28} \right),\left( { - 4} \right);36} \right\}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( {0; - 16} \right),\left( { - 4;36} \right),\left( {4;28} \right)} \right\}\)
c) \({x^2}y + xy - 2{x^2} - 3x + 4 = 0\)
\( \Leftrightarrow y\left( {{x^2} + x} \right) = 2{x^2} + 3x - 4\left( * \right)\)
+ Trường hợp \(1\): \({x^2} + x = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = - 1\end{array} \right.\)
Với \(x = 0\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow y.0 = - 4\) (Loại)
Với \(x = - 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow y.0 = - 5\) (Loại)
+ Trường hợp 2: \({x^2} + x \ne 0\)
\( \Rightarrow y = \dfrac{{2{x^2} + 3x - 4}}{{{x^2} + x}} = 2 + \dfrac{{x - 4}}{{{x^2} + x}}\)
Vì \(y \in \mathbb{Z} \Rightarrow \dfrac{{x - 4}}{{{x^2} + x}} \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right) \vdots \left( {{x^2} + x} \right)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 5} \right) \vdots \left( {{x^2} + x} \right)\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 20 \vdots \left( {{x^2} + x} \right)\\ \Rightarrow 20 \vdots \left( {{x^2} + x} \right)\end{array}\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x = x\left( {x + 1} \right) \vdots 2\\{x^2} + x = {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{1}{4} \ge - \dfrac{1}{4}\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \left( {{x^2} + x} \right) \in \left\{ {2;4;10;20} \right\}\)
+ Với \({x^2} + x = 2 \Leftrightarrow {x^2} + x - 2 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = - 2\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x;y} \right) = \left( {1;\dfrac{1}{2}} \right)\left( L \right)\\\left( {x;y} \right) = \left( { - 2; - 1} \right)\left( C \right)\end{array} \right.\end{array}\)
+ Với \({x^2} + x = 4 \Leftrightarrow {x^2} + x - 4 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{{17}}{4} = 0\)
Ta nhận thấy phương trình không có nghiệm nguyên
+ Với \({x^2} + x = 10 \Leftrightarrow {x^2} + x - 10 = 0 \Leftrightarrow {\left( {x + \dfrac{1}{2}} \right)^2} - \dfrac{{41}}{4} = 0\)
Ta nhận thấy phương trình không có nghiệm nguyên
+ Với \({x^2} + x = 20 \Leftrightarrow {x^2} + x - 20 = 0\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {x + 5} \right)\left( {x - 4} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 5\\x = 4\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {x;y} \right) = \left( { - 5;\dfrac{{31}}{{20}}} \right)\left( L \right)\\\left( {x;y} \right) = \left( {4;2} \right)\left( C \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ {\left( { - 2; - 1} \right),\left( {4;2} \right)} \right\}\)
Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
