Chứng minh rằng không tồn tại các bộ số nguyên \(\left( {x,y,z} \right)\) thoả mãn phương trình

Câu hỏi số 568190:

Vận dụng cao

Chứng minh rằng không tồn tại các bộ số nguyên \(\left( {x,y,z} \right)\) thoả mãn phương trình sau :

\({x^4} + {y^4} = 7{z^4} + 5\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568190

Phương pháp giải

Cho phương trình f(x) = g(x)

* Xét số dư của f(x) và g(x) cho cùng một số

+) Nếu hai số dư khác nhau thì phương trình vô nghiệm

+) Nếu hai số dư bằng nhau thì làm tiếp

* Xét số dư của số chính phương cho 1 số

+) \({a^2} \equiv 0,1(\bmod 3)\)

+) \({a^2} \equiv 0,1(\bmod 4)\)

+) \({a^2} \equiv 0,1,4(\bmod 5)\)

+) \({a^2} \equiv 0,1,4(\bmod 8)\)

+) \({a^3} \equiv 0,1, - 1(\bmod 9)\)+) \({a^4} \equiv 0,1(\bmod 16)\)

Giải chi tiết

Giả sử tồn tại \(\left( {x;y;z} \right)\) thoả mãn \({x^4} + {y^4} = 7{z^4} + 5 \Leftrightarrow {x^4} + {y^4} + {z^4} = 8{z^4} + 5\left( * \right)\)

Ta có: \({x^4} \equiv 0,1\left( {\bmod \;8} \right),\forall x \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^4} + {y^4} + {z^4} \equiv 0;1;2;3\left( {\bmod \;8} \right)\\8{z^4} + 5 \equiv 5\left( {\bmod \;8} \right)\end{array} \right.\)

(Mâu thuẫn với (*))\( \Rightarrow \) Không tồn tại giá trị \(\left( {x,y,z} \right)\) thoả mãn đẳng thức.

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link