a) Tìm số dư trong phép chia \(\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9}

Câu hỏi số 568193:

Thông hiểu

a) Tìm số dư trong phép chia \(\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right) + 2033\) cho \({x^2} + 12x + 30\)

b) Cho \(x,y,z\) thoả mãn \(x + y + z = 7;{x^2} + {y^2} + {z^2} = 23;xyz = 3\). Tính giá trị của biểu thức:

\(H = \dfrac{1}{{xy + z - 6}} + \dfrac{1}{{yz + x - 6}} + \dfrac{1}{{zx + y - 6}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568193

Phương pháp giải

+ Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử có một thừa số là số đa thức chia:

\(f\left( x \right) = g\left( x \right).A\left( x \right).B\left( x \right)\). Nếu \(f\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\) thì \(f\left( x \right) = g\left( x \right).A\left( x \right).B\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\)

+ Biến đổi đa thức bị chia thành một tổng các đa thức đều chia hết cho đa thức chia:

\(f\left( x \right) = A\left( x \right) + B\left( x \right) + C\left( x \right)\). Nếu \(\left\{ \begin{array}{l}A\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\\B\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\\C\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\end{array} \right.\) thì \(f\left( x \right) \vdots g\left( x \right)\)

Giải chi tiết

a) Ta có \(\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right) + 2033 = \left( {{x^2} + 12x + 27} \right)\left( {{x^2} + 12x + 35} \right) + 2033\)

Đặt \(t = {x^2} + 12x + 30\). Thay vào phương trình ta được:

\(\left( {t - 3} \right)\left( {t + 5} \right) + 2033 = {t^2} + 2t - 15 + 2033 = t\left( {t + 2} \right) + 2018\)

\( \Rightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 7} \right)\left( {x + 9} \right) + 2033 = t\left( {t + 2} \right) + 2018\)

\( = \left( {{x^2} + 12x + 30} \right)\left( {{x^2} + 12x + 32} \right) + 2018\)

Vì \(\left( {{x^2} + 12x + 30} \right)\left( {{x^2} + 12x + 32} \right) \vdots \left( {{x^2} + 12x + 30} \right)\) nên số dư trong phép chia \(2018\)

Vậy số dư cần tìm là \(2018\)

b) Ta có: \(x + y + z = 7 \Leftrightarrow z = 7 - x - y\)

Thay vào \(xy + z - 6 = xy + 7 - x - y - 6 = xy - x - y + 1 = \left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\)

Làm tương tự ta được \(yz + x - 6 = \left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)\) và \(zx + y - 9 = \left( {z - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\)

Thay vào phương trình ta được:

\(H = \dfrac{1}{{\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)}} + \dfrac{1}{{\left( {z - 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}\)

\(\begin{array}{l} = \dfrac{{z - 1 + x - 1 + y - 1}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {y - 1} \right)\left( {z - 1} \right)}}\\ = \dfrac{{\left( {x + y + z} \right) - 3}}{{xyz - \left( {xy + yz + xz} \right) + \left( {x + y + z} \right) - 1}}\\ = \dfrac{{7 - 3}}{{3 - \left( {xy + yz + xz} \right) + 7 - 1}}\\ = \dfrac{4}{{9 - \left( {xy + yz + xz} \right)}}\end{array}\)

Ta có \({\left( {x + y + z} \right)^2} = {x^2} + {y^2} + {z^2} + 2\left( {xy + yz + xz} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {7^2} = 23 + 2\left( {xy + yz + xz} \right)\\ \Leftrightarrow \left( {xy + yz + xz} \right) = 13\end{array}\)

Vậy \(H = \dfrac{4}{{9 - 13}} = - 1\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link