a) Tìm GTLN và GTNN \(P = \dfrac{{8x + 3}}{{4{x^2} + 1}}\)b) Tìm \(x\) để biểu thức \(Q = 2017 - \left( {x -

Câu hỏi số 568196:

Vận dụng

a) Tìm GTLN và GTNN \(P = \dfrac{{8x + 3}}{{4{x^2} + 1}}\)

b) Tìm \(x\) để biểu thức \(Q = 2017 - \left( {x - 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 6} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

c) Cho hai số dương \(a,b\) thoả mãn: \({a^2} + {b^2} = 2\). Tìm GTNN của \(M = \dfrac{{{a^3}}}{{2016a + 2017b}} + \dfrac{{{b^3}}}{{2017a + 2016b}}\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568196

Phương pháp giải

+ Để tìm GTNN của biểu thức \(A\), ta cần:

Chứng minh \(A \ge k\) với \(k\) là hằng số.
Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến. Tức là chỉ ra \(x = {x_0}\) để \(A\left( {{x_0}} \right) = k\)

+ Để tìm GTLN của biểu thức \(A\), ta cần:

Giải chi tiết

a) Ta có : \(P = \dfrac{{8x + 3}}{{4{x^2} + 1}} = \dfrac{{16{x^2} + 4 - 16{x^2} + 8x - 1}}{{4{x^2} + 1}}\)

\( = \dfrac{{4\left( {4{x^2} + 1} \right) - {{\left( {4x - 1} \right)}^2}}}{{4{x^2} + 1}} = 4 - \dfrac{{{{\left( {4x - 1} \right)}^2}}}{{4{x^2} + 1}}\)

Vì \(\dfrac{{{{\left( {4x - 1} \right)}^2}}}{{4{x^2} + 1}} \ge 0,\forall x\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \dfrac{{{{\left( {4x - 1} \right)}^2}}}{{4{x^2} + 1}} \le 0,\forall x\\ \Rightarrow 4 - \dfrac{{{{\left( {4x - 1} \right)}^2}}}{{4{x^2} + 1}} \le 4,\forall x\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {4x - 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = \dfrac{1}{4}\)

Ta có : \(P = \dfrac{{8x + 3}}{{4{x^2} + 1}} = \dfrac{{4{x^2} + 8x + 4 - 4{x^2} - 1}}{{4{x^2} + 1}} = \dfrac{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{4{x^2} + 1}} - 1\)

Vì \(\dfrac{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{4{x^2} + 1}} \ge 0,\forall x\)

\( \Rightarrow \dfrac{{4{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}{{4{x^2} + 1}} - 1 \ge - 1,\forall x\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \({\left( {x + 1} \right)^2} = 0 \Rightarrow x = - 1\)

Vậy GTLN của \(P\) là \(4 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{4}\)

GTNN của \(P\) là \( - 1 \Leftrightarrow x = - 1\)

c) \(M = \left[ {\dfrac{{{a^3}}}{{2016a + 2017b}} + \dfrac{{a\left( {2016a + 2017b} \right)}}{{{{4033}^2}}}} \right] + \left[ {\dfrac{{{b^3}}}{{2017a + 2016b}} + \dfrac{{b\left( {2017a + 2016b} \right)}}{{{{4033}^2}}}} \right] - \dfrac{{2016\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 4034ab}}{{{{4033}^2}}}\)

\(\begin{array}{l} \ge \dfrac{{2{a^2}}}{{4033}} + \dfrac{{2{b^2}}}{{4033}} - \dfrac{{2016\left( {{a^2} + {b^2}} \right) + 4034.\dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{2}}}{{{{4033}^2}}}\\ \ge \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{4033}}\\ \ge \dfrac{2}{{4033}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(a = b = 1\)

Vậy GTNN của \(M\) là \(\dfrac{2}{{4033}} \Leftrightarrow a = b = 1\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link