Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:a) \(P = \dfrac{{3a}}{{b + c}} +

Câu hỏi số 568197:

Vận dụng

Cho \(a,b,c\) là các số thực dương. Tìm GTNN của biểu thức:

a) \(P = \dfrac{{3a}}{{b + c}} + \dfrac{{4b}}{{c + a}} + \dfrac{{5c}}{{a + b}}\)

b) \(T = \dfrac{{3\left( {c - b} \right)}}{{2b + a}} + \dfrac{{4\left( {a - c} \right)}}{{b + 2c}} + \dfrac{{5\left( {b - a} \right)}}{{c + 2a}}\)

c) \(A = {x^4} + {y^4} + {z^4}\) với \(x + y + z = 2\)

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:568197

Phương pháp giải

Bất đẳng thức Bunhicopxki: Cho 2 dãy số dương \(\left( {{a_1};{a_2};...;{a_n}} \right)\) và \(\left( {{b_1};{b_2};...;{b_n}} \right)\). Khi đó ta có:

\(\left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right)\left( {b_1^2 + b_2^2 + ... + b_n^2} \right) \ge {\left( {{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} + ... + {a_n}{b_n}} \right)^2}\)

Giải chi tiết

\(\begin{array}{l}\quad \;P = \dfrac{{3a}}{{b + c}} + \dfrac{{4b}}{{c + a}} + \dfrac{{5c}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow P + 12 = \dfrac{{3a}}{{b + c}} + 3 + \dfrac{{4b}}{{c + a}} + 4 + \dfrac{{5c}}{{a + b}} + 5\\ \Leftrightarrow P + 12 = \dfrac{{3a + 3b + 3c}}{{b + c}} + \dfrac{{4a + 4b + 4c}}{{c + a}} + \dfrac{{5a + 5b + 5c}}{{a + b}}\\ \Leftrightarrow P + 12 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{3}{{b + c}} + \dfrac{4}{{c + a}} + \dfrac{5}{{a + b}}} \right)\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki, ta được:

\(\dfrac{1}{2}\left[ {\left( {b + c} \right) + \left( {c + a} \right) + \left( {a + b} \right)} \right]\left( {\dfrac{3}{{b + c}} + \dfrac{4}{{c + a}} + \dfrac{5}{{a + b}}} \right) \ge \dfrac{1}{2}{\left( {\sqrt 3 + 2 + \sqrt 5 } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow P + 12 \ge \dfrac{1}{2}{\left( {\sqrt 3 + 2 + \sqrt 5 } \right)^2}\\ \Rightarrow P \ge \dfrac{1}{2}{\left( {\sqrt 3 + 2 + \sqrt 5 } \right)^2} - 12\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{b + c}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{c + a}}{2} = \dfrac{{a + b}}{{\sqrt 5 }}\)

Vậy GTNN của \(P\) là \(\dfrac{1}{2}{\left( {\sqrt 3 + 2 + \sqrt 5 } \right)^2} - 12 \Leftrightarrow \dfrac{{b + c}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{c + a}}{2} = \dfrac{{a + b}}{5}\)

b) \(T = \dfrac{{3\left( {c - b} \right)}}{{2b + a}} + \dfrac{{4\left( {a - c} \right)}}{{b + 2c}} + \dfrac{{5\left( {b - a} \right)}}{{c + 2a}}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow T + 12 = \dfrac{{3\left( {c - b} \right)}}{{2b + a}} + 3 + \dfrac{{4\left( {a - c} \right)}}{{b + 2c}} + 4 + \dfrac{{5\left( {b - a} \right)}}{{c + 2a}} + 5\\ \Leftrightarrow T + 12 = \dfrac{{3\left( {a + b + c} \right)}}{{a + 2b}} + \dfrac{{4\left( {a + b + c} \right)}}{{b + 2c}} + \dfrac{{5\left( {a + b + c} \right)}}{{c + 2a}}\\ \Leftrightarrow T + 12 = \left( {a + b + c} \right)\left( {\dfrac{3}{{a + 2b}} + \dfrac{4}{{b + 2c}} + \dfrac{5}{{c + 2a}}} \right)\end{array}\)

Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki ta được:

\(\dfrac{1}{3}\left[ {\left( {a + 2b} \right) + \left( {b + 2c} \right) + \left( {c + 2a} \right)} \right]\left( {\dfrac{3}{{a + 2b}} + \dfrac{4}{{b + 2c}} + \dfrac{5}{{c + 2a}}} \right) \ge \dfrac{1}{3}{\left( {\sqrt 3 + 2 + \sqrt 5 } \right)^2}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow T + 12 \ge \dfrac{1}{3}{\left( {\sqrt 3 + 2 + \sqrt 5 } \right)^2}\\ \Rightarrow T \ge \dfrac{1}{3}{\left( {\sqrt 3 + 2 + \sqrt 5 } \right)^2} - 12\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(\dfrac{{b + c}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{c + a}}{2} = \dfrac{{a + b}}{{\sqrt 5 }}\)

Vậy GTNN của \(T\) là \(\dfrac{1}{3}{\left( {\sqrt 3 + 2 + \sqrt 5 } \right)^2} - 12 \Leftrightarrow \dfrac{{b + c}}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{{c + a}}{2} = \dfrac{{a + b}}{{\sqrt 5 }}\)

c) Áp dụng bất đẳng thức Bunhicopxki, ta có:

\({\left( {x + y + z} \right)^4} \le {\left[ {{{\left( {x + y + z} \right)}^2}} \right]^2} \le {\left[ {3{{\left( {x + y + z} \right)}^2}} \right]^2}\)

\(\begin{array}{l} \le 9{\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right)^2} \le 27\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right)\\ \Rightarrow 16 \le 27\left( {{x^4} + {y^4} + {z^4}} \right)\\ \Rightarrow {x^4} + {y^4} + {z^4} \ge \dfrac{{16}}{{27}}\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \dfrac{2}{3}\)

Vậy GTNN của \(A\) là \(\dfrac{{16}}{{27}} \Leftrightarrow x = y = z = \dfrac{2}{3}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K11 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 8 trên Tuyensinh247.com. Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Cam kết giúp học sinh lớp 8 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link