Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N\) lần lượt thuộc các đoạn thẳng \(AB,AD\) (\(M,N\) không trùng với \(A\)) sao cho \(\dfrac{{AB}}{{AM}} = x\) và \(\dfrac{{AD}}{{AN}} = y\) thỏa mãn \(x + 2y = 4\) và \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của \({x^2} + {y^2} + \dfrac{{{V_{S.ABD}}}}{{{V_{S.AMN}}}}\) bằng

Câu 569569: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N\) lần lượt thuộc các đoạn thẳng \(AB,AD\) (\(M,N\) không trùng với \(A\)) sao cho \(\dfrac{{AB}}{{AM}} = x\) và \(\dfrac{{AD}}{{AN}} = y\) thỏa mãn \(x + 2y = 4\) và \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của \({x^2} + {y^2} + \dfrac{{{V_{S.ABD}}}}{{{V_{S.AMN}}}}\) bằng

A. \(9\)

B. \(7\)

C. \(5\)

D. \(6\)

Câu hỏi : 569569

Đáp án : B
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \({V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{\Delta AMN}}\)

\({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}}\)
Mà \({S_{\Delta AMN}} = \dfrac{1}{2}AM.AN.\sin \angle A\)
\({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABD}} = 2.\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin \angle A\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{AN}}{{AD}}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{AN}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{\dfrac{{x\left( {4 - x} \right)}}{2}}} = \dfrac{1}{{x\left( {4 - x} \right)}}\)
Vì \(x\left( {4 - x} \right) \le {\left( {\dfrac{{x + 4 - x}}{2}} \right)^2} = 4 \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} \ge \dfrac{1}{4}\)
Khi đó \(\left( {\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}} \right){\dfrac{1}{4}_{min}}\)
Vậy \({x^2} + {y^2} + \dfrac{{{V_{S.ABD}}}}{{{V_{S.AMN}}}} = {2^2} + {1^2} + 2 = 7\).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.