Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N\) lần lượt thuộc các đoạn thẳng \(AB,AD\) (\(M,N\) không trùng với \(A\)) sao cho \(\dfrac{{AB}}{{AM}} = x\) và \(\dfrac{{AD}}{{AN}} = y\) thỏa mãn \(x + 2y = 4\) và \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của \({x^2} + {y^2} + \dfrac{{{V_{S.ABD}}}}{{{V_{S.AMN}}}}\) bằng

Câu 569569: Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,N\) lần lượt thuộc các đoạn thẳng \(AB,AD\) (\(M,N\) không trùng với \(A\)) sao cho \(\dfrac{{AB}}{{AM}} = x\) và \(\dfrac{{AD}}{{AN}} = y\) thỏa mãn \(x + 2y = 4\) và \(\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của \({x^2} + {y^2} + \dfrac{{{V_{S.ABD}}}}{{{V_{S.AMN}}}}\) bằng

A. \(9\)

B. \(7\)

C. \(5\)

D. \(6\)

Câu hỏi : 569569
  • Đáp án : B
    (0) bình luận (0) lời giải

    Giải chi tiết:

    Ta có:  \({V_{S.AMN}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{\Delta AMN}}\)

         \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}d\left( {S;\left( {ABCD} \right)} \right).{S_{ABCD}}\)

    Mà \({S_{\Delta AMN}} = \dfrac{1}{2}AM.AN.\sin \angle A\)

         \({S_{ABCD}} = 2{S_{\Delta ABD}} = 2.\dfrac{1}{2}AB.AD.\sin \angle A\)

    \( \Rightarrow \dfrac{{{S_{\Delta AMN}}}}{{{S_{ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{AN}}{{AD}}\)

    \( \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{AM}}{{AB}}.\dfrac{{AN}}{{AD}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{x}.\dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{{\dfrac{{x\left( {4 - x} \right)}}{2}}} = \dfrac{1}{{x\left( {4 - x} \right)}}\)

    Vì \(x\left( {4 - x} \right) \le {\left( {\dfrac{{x + 4 - x}}{2}} \right)^2} = 4 \Rightarrow \dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}} \ge \dfrac{1}{4}\)

    Khi đó \(\left( {\dfrac{{{V_{S.AMN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}} \right){\dfrac{1}{4}_{min}}\)

    Vậy \({x^2} + {y^2} + \dfrac{{{V_{S.ABD}}}}{{{V_{S.AMN}}}} = {2^2} + {1^2} + 2 = 7\).

    Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2023 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com