Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^2} + 2y\) bằng

Câu 569568: Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^2} + 2y\) bằng

A. \( - 5 + 6\sqrt 3 \)

B. \(\dfrac{{11}}{2}\)

C. \( - 4 + 6\sqrt 2 \)

D. \(\dfrac{{27}}{5}\)

Câu hỏi : 569568

Quảng cáo

Đáp án : C
(0) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Ta có: \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right){\log _3}\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right] = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {\log _3}\left( {y + 1} \right) = \dfrac{9}{{y + 1}} - {x^2}\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = \dfrac{9}{{y + 1}} - {\log _3}\left( {y + 1} \right) + 2\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = \dfrac{9}{{y + 1}} + {\log _3}\dfrac{1}{{y + 1}} + {\log _3}9\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = \dfrac{9}{{y + 1}} + {\log _3}\dfrac{9}{{y + 1}}\) \(\left( 1 \right)\)
Đặt \(u = {x^2} + 2,u > 0\;;\;\;v = \dfrac{9}{{y + 1}},v > 0\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({\log _3}u + u = {\log _3}v + v\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t,t > 0\)
\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\forall t > 0\). Suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Mà \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) nên \(u = v \Rightarrow {x^2} + 2 = \dfrac{9}{{y + 1}} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{9}{{y + 1}} - 2\)
Do đó: \(P = {x^2} + 2y = \dfrac{9}{{y + 1}} + 2y - 2,y > 0\)
Ta có: \(P' = - \dfrac{9}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + 2\)
\(P' = 0 \Leftrightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y + 1 = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y + 1 = - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\;\,\,\,\left( {tm} \right)}\\{y = - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\;\,\,\,\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy GTNN của \(P\) bằng \( - 4 + 6\sqrt 2 \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.