Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)}
Cho hai số thực dương \(x,y\) thỏa mãn \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right)\). Giá trị nhỏ nhất của \(P = {x^2} + 2y\) bằng
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Ta có: \({\log _3}{\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right]^{y + 1}} = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow \left( {y + 1} \right){\log _3}\left[ {\left( {{x^2} + 2} \right)\left( {y + 1} \right)} \right] = 9 - {x^2}\left( {y + 1} \right)\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {\log _3}\left( {y + 1} \right) = \dfrac{9}{{y + 1}} - {x^2}\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = \dfrac{9}{{y + 1}} - {\log _3}\left( {y + 1} \right) + 2\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = \dfrac{9}{{y + 1}} + {\log _3}\dfrac{1}{{y + 1}} + {\log _3}9\)
\( \Leftrightarrow {\log _3}\left( {{x^2} + 2} \right) + {x^2} + 2 = \dfrac{9}{{y + 1}} + {\log _3}\dfrac{9}{{y + 1}}\) \(\left( 1 \right)\)
Đặt \(u = {x^2} + 2,u > 0\;;\;\;v = \dfrac{9}{{y + 1}},v > 0\)
Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \({\log _3}u + u = {\log _3}v + v\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\log _3}t + t,t > 0\)
\(f'\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 1 > 0,\forall t > 0\). Suy ra \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\)
Mà \(f\left( u \right) = f\left( v \right)\) nên \(u = v \Rightarrow {x^2} + 2 = \dfrac{9}{{y + 1}} \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{9}{{y + 1}} - 2\)
Do đó: \(P = {x^2} + 2y = \dfrac{9}{{y + 1}} + 2y - 2,y > 0\)
Ta có: \(P' = - \dfrac{9}{{{{\left( {y + 1} \right)}^2}}} + 2\)
\(P' = 0 \Leftrightarrow {\left( {y + 1} \right)^2} = \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y + 1 = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}}\\{y + 1 = - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\;\,\,\,\left( {tm} \right)}\\{y = - \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2} - 1\;\,\,\,\left( {ktm} \right)}\end{array}} \right.\)
Bảng biến thiên:
Vậy GTNN của \(P\) bằng \( - 4 + 6\sqrt 2 \).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
