Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;1;1} \right),B\left( {3; - 2; - 2} \right)\). Điểm

Câu hỏi số 569933:

Vận dụng

Trong không gian \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {3;1;1} \right),B\left( {3; - 2; - 2} \right)\). Điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) sao cho các đường thẳng \(MA,\,MB\) luôn tạo với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) các góc bằng nhau. Biết rằng điểm \(M\) luôn thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) cố định. Bán kính \(R\) của đường tròn \(\left( C \right)\) là

A. \(R = 1\).

B. \(R = \sqrt {22} \).

C. \(R = 8\).

D. \(R = 2\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:569933

Phương pháp giải

Cho đường thẳng \(d\) có một VTCP \(\overrightarrow u \) và mp \(\left( P \right)\) có một VTPT \(\overrightarrow n \). Khi đó: \(\sin \left( {d;\left( P \right)} \right) = \dfrac{{\left| {\overrightarrow u .\overrightarrow n } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|.\left| {\overrightarrow n } \right|}}\).

Giải chi tiết

\(M\) thuộc mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right) \Rightarrow \) Giả sử \(M\left( {m;0;n} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AM} = \left( {m - 3; - 1;n - 1} \right)\\\overrightarrow {BM} = \left( {m - 3;2;n + 2} \right)\end{array} \right.\).

Mp\(\left( {Oxz} \right)\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow j = \left( {0;1;0} \right)\).

Do \(MA,\,MB\) luôn tạo với mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\) các góc bằng nhau nên \(\sin \left( {MA;\left( {Oxz} \right)} \right) = \sin \left( {MB;\left( {Oxz} \right)} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{\left| {0 - 1 + 0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( {n - 1} \right)}^2}} .1}} = \dfrac{{\left| {0 + 2 + 0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( {n + 2} \right)}^2}} .1}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\sqrt {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( {n - 1} \right)}^2}} }} = \dfrac{2}{{\sqrt {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( {n + 2} \right)}^2}} }}\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + {2^2} + {{\left( {n + 2} \right)}^2}} = 2\sqrt {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + {1^2} + {{\left( {n - 1} \right)}^2}} \)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 + 4 + {n^2} + 4n + 4 = 4{m^2} - 24m + 36 + 4 + 4{n^2} - 8n + 4\\ \Leftrightarrow 3{m^2} - 18m + 3{n^2} - 12n = 27\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + {n^2} - 4n = 9\\ \Leftrightarrow {m^2} - 6m + 9 + {n^2} - 4n + 4 = 22 \Leftrightarrow {\left( {m - 3} \right)^2} + {\left( {n - 2} \right)^2} = 22\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Đặt \(I\left( {3;0;2} \right)\). Khi đó: Phương trình \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow IM = \sqrt {22} \Rightarrow \)\(M\) luôn thuộc đường tròn \(\left( C \right)\) cố định có tâm \(I\left( {3;0;2} \right)\), bán kính \(R = \sqrt {22} \).

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.