Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a,\) \(\widehat {ASB} = {60^ \circ },\widehat {BSC} = {90^ \circ },\)
Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a,\) \(\widehat {ASB} = {60^ \circ },\widehat {BSC} = {90^ \circ },\) \(\widehat {CSA} = {120^ \circ }\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là các điểm trên cạnh \(AB\) và \(SC\) sao cho \(\dfrac{{CN}}{{SC}} = \dfrac{{AM}}{{AB}}\). Khi khoảng cách giữa \(M\) và \(N\) nhỏ nhất, thể tích khối chóp \(S.AMN\) bằng
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(P\) sao cho \(\dfrac{{CP}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{SC}} = k\), \(k \in \left[ {0;1} \right]\).
Xét tam giác \(MNP\), tính độ dài cạnh \(MN\) theo tham số \(k\).
Biện luận giá trị nhỏ nhất của đoạn \(MN\) theo \(k\).
Tính thể tích chóp \(S.AMN\) khi \(MN\) ngắn nhất.
\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SA = SB = AB = a\).
\(\Delta SBC\) vuông cân tại \(S,\,\,SB = SC = a \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \).
\(\Delta SAC\) cân tại \(S,\,SA = SC = a,\,\widehat {ASC} = {120^0} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \).
\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\) (do \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\)).
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).
Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(P\) sao cho \(\dfrac{{CP}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{SC}} = k\), \(k \in \left[ {0;1} \right]\).
\( \Rightarrow NP = k\,SB = ka,\,MP = \left( {1 - k} \right)AC = \left( {1 - k} \right)a\sqrt 3 \).
Dựng hình bình hành \(ADBC\). Khi đó: \(\widehat {NPM} = \widehat {SBD}\).
Ta có: \(\cos \widehat {HAD} = - \cos \widehat {ACB} = - \dfrac{{BC}}{{AC}} = - \sqrt {\dfrac{2}{3}} \).
\( \Rightarrow D{H^2} = A{H^2} + A{D^2} - 2.AH.AD.\cos A\)
\( = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} - 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 2 .\left( { - \sqrt {\dfrac{2}{3}} } \right) = \dfrac{{19{a^2}}}{4} \Rightarrow DH = \dfrac{{\sqrt {19} }}{2}a\).
\(\Delta SDH\) vuông tại \(H \Rightarrow SD = \sqrt {S{H^2} + D{H^2}} = \sqrt {{{\left( {SA.\sin {{30}^0}} \right)}^2} + D{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{19{a^2}}}{4}} = a\sqrt 5 \).
\(\Delta SBD\) có: \(\cos \widehat {SBD} = \dfrac{{S{B^2} + B{D^2} - S{D^2}}}{{2.SB.BD}} = \dfrac{{{a^2} + 3{a^2} - 5{a^2}}}{{2.a.a\sqrt 3 }} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\)\( \Rightarrow \cos \widehat {NPM} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\).
\(\Delta MNP\) có:
\(\begin{array}{l}M{N^2} = N{P^2} + M{P^2} - 2.NP.MP.\cos \widehat {NPM}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^2}{a^2} + 3{\left( {1 - k} \right)^2}{a^2} - 2.ka.\left( {1 - k} \right)a\sqrt 3 .\dfrac{{ - \sqrt 3 }}{6}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^2}{a^2} + 3\left( {1 - 2k + {k^2}} \right){a^2} + \left( {k - {k^2}} \right){a^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {3{k^2} - 5k + 3} \right){a^2} = \left( {3\left( {{k^2} - 2.k.\dfrac{5}{6} + \dfrac{{25}}{{36}}} \right) + \dfrac{{11}}{{12}}} \right){a^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {3{{\left( {k - \dfrac{5}{6}} \right)}^2} + \dfrac{{11}}{{12}}} \right){a^2} \ge \dfrac{{11}}{{12}}{a^2}\end{array}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(k = \dfrac{5}{6}\) \( \Rightarrow M{N_{\min }} = a\sqrt {\dfrac{{11}}{{12}}} \) khi \(k = \dfrac{5}{6}\).
Khi đó: \({V_{S.AMN}} = \dfrac{{SN}}{{SC}}.{V_{S.AMC}} = \dfrac{1}{6}.{V_{S.AMC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{AM}}{{AB}}.{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{5}{6}..{V_{S.ABC}} = \dfrac{5}{{36}}.{V_{S.ABC}}\).
Lại có: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.SH.\dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
\( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{5}{{36}}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{432}}\).
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
