Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a,\) \(\widehat {ASB} = {60^ \circ },\widehat {BSC} = {90^ \circ },\)

Câu hỏi số 569934:

Vận dụng cao

Cho khối chóp \(S.ABC\) có \(SA = SB = SC = a,\) \(\widehat {ASB} = {60^ \circ },\widehat {BSC} = {90^ \circ },\) \(\widehat {CSA} = {120^ \circ }\). Gọi \(M,\,N\) lần lượt là các điểm trên cạnh \(AB\) và \(SC\) sao cho \(\dfrac{{CN}}{{SC}} = \dfrac{{AM}}{{AB}}\). Khi khoảng cách giữa \(M\) và \(N\) nhỏ nhất, thể tích khối chóp \(S.AMN\) bằng

A. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{432}}\).

B. \(\dfrac{{5\sqrt 2 {a^3}}}{{72}}\).

C. \(\dfrac{{\sqrt 2 {a^3}}}{{72}}\).

D. \(\dfrac{{5\sqrt 2 {a^3}}}{{432}}\).

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:569934

Phương pháp giải

Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(P\) sao cho \(\dfrac{{CP}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{SC}} = k\), \(k \in \left[ {0;1} \right]\).

Xét tam giác \(MNP\), tính độ dài cạnh \(MN\) theo tham số \(k\).

Biện luận giá trị nhỏ nhất của đoạn \(MN\) theo \(k\).

Tính thể tích chóp \(S.AMN\) khi \(MN\) ngắn nhất.

Giải chi tiết

\(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SA = SB = AB = a\).

\(\Delta SBC\) vuông cân tại \(S,\,\,SB = SC = a \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \).

\(\Delta SAC\) cân tại \(S,\,SA = SC = a,\,\widehat {ASC} = {120^0} \Rightarrow AC = a\sqrt 3 \).

\( \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(B\) (do \(A{B^2} + B{C^2} = A{C^2}\)).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AC \Rightarrow SH \bot \left( {ABC} \right)\).

Trên cạnh \(BC\) lấy điểm \(P\) sao cho \(\dfrac{{CP}}{{BC}} = \dfrac{{AM}}{{AB}} = \dfrac{{CN}}{{SC}} = k\), \(k \in \left[ {0;1} \right]\).

\( \Rightarrow NP = k\,SB = ka,\,MP = \left( {1 - k} \right)AC = \left( {1 - k} \right)a\sqrt 3 \).

Dựng hình bình hành \(ADBC\). Khi đó: \(\widehat {NPM} = \widehat {SBD}\).

Ta có: \(\cos \widehat {HAD} = - \cos \widehat {ACB} = - \dfrac{{BC}}{{AC}} = - \sqrt {\dfrac{2}{3}} \).

\( \Rightarrow D{H^2} = A{H^2} + A{D^2} - 2.AH.AD.\cos A\)

\( = {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)^2} + {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} - 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.a\sqrt 2 .\left( { - \sqrt {\dfrac{2}{3}} } \right) = \dfrac{{19{a^2}}}{4} \Rightarrow DH = \dfrac{{\sqrt {19} }}{2}a\).

\(\Delta SDH\) vuông tại \(H \Rightarrow SD = \sqrt {S{H^2} + D{H^2}} = \sqrt {{{\left( {SA.\sin {{30}^0}} \right)}^2} + D{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2} + \dfrac{{19{a^2}}}{4}} = a\sqrt 5 \).

\(\Delta SBD\) có: \(\cos \widehat {SBD} = \dfrac{{S{B^2} + B{D^2} - S{D^2}}}{{2.SB.BD}} = \dfrac{{{a^2} + 3{a^2} - 5{a^2}}}{{2.a.a\sqrt 3 }} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\)\( \Rightarrow \cos \widehat {NPM} = - \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}\).

\(\Delta MNP\) có:

\(\begin{array}{l}M{N^2} = N{P^2} + M{P^2} - 2.NP.MP.\cos \widehat {NPM}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^2}{a^2} + 3{\left( {1 - k} \right)^2}{a^2} - 2.ka.\left( {1 - k} \right)a\sqrt 3 .\dfrac{{ - \sqrt 3 }}{6}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {k^2}{a^2} + 3\left( {1 - 2k + {k^2}} \right){a^2} + \left( {k - {k^2}} \right){a^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {3{k^2} - 5k + 3} \right){a^2} = \left( {3\left( {{k^2} - 2.k.\dfrac{5}{6} + \dfrac{{25}}{{36}}} \right) + \dfrac{{11}}{{12}}} \right){a^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {3{{\left( {k - \dfrac{5}{6}} \right)}^2} + \dfrac{{11}}{{12}}} \right){a^2} \ge \dfrac{{11}}{{12}}{a^2}\end{array}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(k = \dfrac{5}{6}\) \( \Rightarrow M{N_{\min }} = a\sqrt {\dfrac{{11}}{{12}}} \) khi \(k = \dfrac{5}{6}\).

Khi đó: \({V_{S.AMN}} = \dfrac{{SN}}{{SC}}.{V_{S.AMC}} = \dfrac{1}{6}.{V_{S.AMC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{{AM}}{{AB}}.{V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{6}.\dfrac{5}{6}..{V_{S.ABC}} = \dfrac{5}{{36}}.{V_{S.ABC}}\).

Lại có: \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.SH.\dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.\dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 2 = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

\( \Rightarrow {V_{S.AMN}} = \dfrac{5}{{36}}.\dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{5{a^3}\sqrt 2 }}{{432}}\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.