Cho phương trình \({\left( {{x^2} - 2x + m} \right)^2} - 2{x^2} + 3x - m = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên

Câu hỏi số 569935:

Vận dụng

Cho phương trình \({\left( {{x^2} - 2x + m} \right)^2} - 2{x^2} + 3x - m = 0\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 2022;2022} \right]\) để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt?

A. 2022.

B. 4045.

C. 2024.

D. 2023.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:569935

Phương pháp giải

Phân tích nhân tử, đưa phương trình đã cho về hệ 2 phương trình bậc hai.

Giải chi tiết

Phương trình \({\left( {{x^2} - 2x + m} \right)^2} - 2{x^2} + 3x - m = 0 \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - 2x + m} \right)^2} - \left( {{x^2} - 2x + m} \right) = {x^2} - x\)

\( \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {{x^2} - 2x + m} \right)}^2} - {x^2}} \right] - \left[ {\left( {{x^2} - 2x + m} \right) - x} \right] = 0 \Leftrightarrow \left[ {\left( {{x^2} - 2x + m} \right) - x} \right]\left[ {\left( {{x^2} - 2x + m} \right) + x - 1} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - 3x + m} \right)\left( {{x^2} - x + m - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 3x + m = 0\,\,\,\,\,\,\,(1)\\{x^2} - x + m - 1 = 0\,\,\,(2)\end{array} \right.\).

Giả sử \({x_0}\) là nghiệm chung của phương trình (1) và (2), khi đó:

\(\left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - 3{x_0} + m = 0\\x_0^2 - {x_0} + m - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x_0^2 - 3{x_0} + m = 0\\2{x_0} - 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + m = 0\\{x_0} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = \dfrac{5}{4}\\{x_0} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right.\).

Như vậy, để phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) và (2) đều có 2 nghiệm phân biệt khác \(\dfrac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \dfrac{5}{4}\\{3^2} - 4m > 0\\{1^2} - 4\left( {m - 1} \right) > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne \dfrac{5}{4}\\m < \dfrac{9}{4}\\m < \dfrac{5}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow m < \dfrac{5}{4}\).

Mà \(m \in \mathbb{Z},\,\,m \in \left[ { - 2022;2022} \right] \Rightarrow m \in \left\{ { - 2022; - 2021;...;1} \right\}\): 2024 giá trị.

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.