Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và nằm

Câu hỏi số 570844:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, tam giác \(SAB\) vuông tại \(S\) và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết \(AB = 2SA,\,BC = 2a\) và mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) tạo với mặt phẳng đáy một góc \({60^ \circ }\). Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) tính theo \(a\) bằng

A. \(\dfrac{{32\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).

B. \(16{a^3}\).

C. \(\dfrac{{32{a^3}}}{3}\).

D. \(16\sqrt 3 {a^3}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:570844

Phương pháp giải

Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\):

- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).

- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).

- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)

- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)} \right) = \left( {a;b} \right)\)

Giải chi tiết

Kẻ \(SH \bot AB\). Do \(\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).

Kẻ \(HE \bot CD \Rightarrow \left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle SEH = {60^0}\).

Tam giác \(SHE\) vuông tại \(H \Rightarrow SH = HE.\tan E = 2a.\tan {60^0} = 2\sqrt 3 a\).

Tam giác \(SAB\) vuông tại \(S \Rightarrow \sin B = \dfrac{{SA}}{{AB}} = \dfrac{1}{2}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SB = \dfrac{{SH}}{{\sin {{30}^0}}} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{{\dfrac{1}{2}}} = 4a\sqrt 3 \\BH = \sqrt {{{\left( {4a\sqrt 3 } \right)}^2} - {{\left( {2a\sqrt 3 } \right)}^2}} = 6a\end{array} \right.\\ \Rightarrow AB = \dfrac{{S{B^2}}}{{BH}} = \dfrac{{{{\left( {4a\sqrt 3 } \right)}^2}}}{{6a}} = 8a\end{array}\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{ABCD}} = AB.BC = 8a.2a = 16{a^2}\\ \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.{S_{ABCD}}.SH = \dfrac{1}{3}.16{a^2}.2a\sqrt 3 = \dfrac{{32\sqrt 3 {a^3}}}{3}\end{array}\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.