Từ một miếng tôn hình tròn bán kính \(2m\), người ta cắt ra một hình chữ nhật rồi uốn thành
Từ một miếng tôn hình tròn bán kính \(2m\), người ta cắt ra một hình chữ nhật rồi uốn thành mặt xung quanh của một chiếc thùng phi hình trụ như hình vẽ bên dưới. Để thể tích thùng lớn nhất thì diện tích phần tôn bị cắt bỏ gần bằng giá trị nào sau đây?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Khảo sát hàm số, tìm GTLN của hàm số.
Giả sử \(AB = x,AD = y\,\,\left( {m;\,\,x,y > 0} \right)\) lần lượt là chiều cao và chu vi đáy của hình trụ.
\( \Rightarrow \) Bán kính đáy của hình trụ là: \(R = \dfrac{y}{{2\pi }}\,\,\left( m \right)\).
Thể tích của thùng là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\dfrac{y}{{2\pi }}} \right)^2}x = \dfrac{{x{y^2}}}{{4\pi }}\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Do miếng tôn hình tròn bán kính \(2m\) nên \({x^2} + {y^2} = {\left( {2.2} \right)^2} = 16 \Rightarrow {y^2} = 16 - {x^2}\,\,\left( {0 < x,y < 4} \right)\).
\( \Rightarrow \)\(V = \dfrac{{x\left( {16 - {x^2}} \right)}}{{4\pi }} = \dfrac{{16x - {x^3}}}{{4\pi }}\).
Xét hàm số \(f\left( x \right) = 16x - {x^3}\) trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) có \(f'\left( x \right) = 16 - 3{x^2},\,\,f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}\).
Ta có bảng sau:
\( \Rightarrow \)\({V_{\max }} = \dfrac{{\dfrac{{128\sqrt 3 }}{9}}}{{4\pi }} = \dfrac{{32\sqrt 3 }}{{9\pi }}\) khi \(x = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow y = \sqrt {16 - \dfrac{{16}}{3}} = \sqrt {\dfrac{{32}}{3}} \).
\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {\dfrac{{32}}{3}} = \dfrac{{16\sqrt 2 }}{3}\)
Diện tích phần tôn bị cắt bỏ là: \(\pi {.2^2} - \dfrac{{16\sqrt 2 }}{3} \approx 5\,\,\left( {{m^2}} \right)\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
