Từ một miếng tôn hình tròn bán kính \(2m\), người ta cắt ra một

Câu hỏi số 570846:

Vận dụng

Từ một miếng tôn hình tròn bán kính \(2m\), người ta cắt ra một hình chữ nhật rồi uốn thành mặt xung quanh của một chiếc thùng phi hình trụ như hình vẽ bên dưới. Để thể tích thùng lớn nhất thì diện tích phần tôn bị cắt bỏ gần bằng giá trị nào sau đây?

A. \(5\,{m^2}\).

B. \(6\,{m^2}\).

C. \(9\,{m^2}\).

D. \(8\,{m^2}\).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:570846

Phương pháp giải

Khảo sát hàm số, tìm GTLN của hàm số.

Giải chi tiết

Giả sử \(AB = x,AD = y\,\,\left( {m;\,\,x,y > 0} \right)\) lần lượt là chiều cao và chu vi đáy của hình trụ.

\( \Rightarrow \) Bán kính đáy của hình trụ là: \(R = \dfrac{y}{{2\pi }}\,\,\left( m \right)\).

Thể tích của thùng là: \(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {\dfrac{y}{{2\pi }}} \right)^2}x = \dfrac{{x{y^2}}}{{4\pi }}\,\,\left( {{m^3}} \right)\).

Để diện tích hình chữ nhật là lớn nhất (từ đó thể tích thùng uốn được có thể đạt cực đại), hình chữ nhật ABCD phải nội tiếp trong đường tròn. Khi đó, đường chéo của hình chữ nhật chính là đường kính của đường tròn, ta có \({x^2} + {y^2} = {\left( {2.2} \right)^2} = 16 \Rightarrow {y^2} = 16 - {x^2}\,\,\left( {0 < x,y < 4} \right)\).

\( \Rightarrow \)\(V = \dfrac{{x\left( {16 - {x^2}} \right)}}{{4\pi }} = \dfrac{{16x - {x^3}}}{{4\pi }}\).

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 16x - {x^3}\) trên khoảng \(\left( {0;4} \right)\) có \(f'\left( x \right) = 16 - 3{x^2},\,\,f'\left( x \right) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}\).

Ta có bảng sau:

\( \Rightarrow \)\({V_{\max }} = \dfrac{{\dfrac{{128\sqrt 3 }}{9}}}{{4\pi }} = \dfrac{{32\sqrt 3 }}{{9\pi }}\) khi \(x = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow y = \sqrt {16 - \dfrac{{16}}{3}} = \sqrt {\dfrac{{32}}{3}} \).

\( \Rightarrow {S_{ABCD}} = \dfrac{4}{{\sqrt 3 }}.\sqrt {\dfrac{{32}}{3}} = \dfrac{{16\sqrt 2 }}{3}\)

Diện tích phần tôn bị cắt bỏ là: \(\pi {.2^2} - \dfrac{{16\sqrt 2 }}{3} \approx 5\,\,\left( {{m^2}} \right)\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.