Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi số nguyên \(x\) có đúng 5 số nguyên \(y\) thoả

Câu hỏi số 571705:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu số nguyên \(x\) sao cho ứng với mỗi số nguyên \(x\) có đúng 5 số nguyên \(y\) thoả mãn \({3^{{y^2} - \left| {x - 2y} \right|}} \le {\log _{{y^2} + 3}}\left( {\left| {x - 2y} \right| + 3} \right)\)?

A. \(13\).

B. \(11\).

C. \(12\).

D. \(10\).

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571705

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để đánh giá nghiệm của BPT.

Giải chi tiết

Xét bất phương trình : \({3^{{y^2} - \left| {x - 2y} \right|}} \le {\log _{{y^2} + 3}}\left( {\left| {x - 2y} \right| + 3} \right),\,\,\left( {\forall x,y \in \mathbb{R}} \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{{3^{{y^2} + 3}}}}{{{3^{\left| {x - 2y} \right| + 3}}}} \le \dfrac{{\ln \left( {\left| {x - 2y} \right| + 3} \right)}}{{\ln \left( {{y^2} + 3} \right)}}\)

\( \Leftrightarrow {3^{{y^2} + 3}}\ln \left( {{y^2} + 3} \right) \le {3^{\left| {x - 2y} \right| + 3}}\ln \left( {\left| {x - 2y} \right| + 3} \right)\,\,\left( * \right)\,\,\,\left( {do\,\,{3^{\left| {x - 2y} \right| + 3}} > 0,\,\ln \left( {{y^2} + 3} \right) > 0,\,\forall x,y} \right)\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t}\ln t,\,\,t \in \left[ {3; + \infty } \right)\,\, \Rightarrow f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3.\ln t + \dfrac{{{3^t}}}{t} > 0,\forall t \in \left[ {3; + \infty } \right)\).

\( \Rightarrow \) Hàm số \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left[ {3; + \infty } \right)\).

Khi đó: BPT \(\left( * \right)\) \( \Leftrightarrow {y^2} + 3 \le \left| {x - 2y} \right| + 3 \Leftrightarrow {y^2} \le \left| {x - 2y} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{y^2} \le x - 2y\\{y^2} \le - x + 2y\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge {y^2} + 2y\,\, = f\left( y \right)\\x \le - {y^2} + 2y\,\, = g\left( y \right)\end{array} \right.\) (*)

Ta dựng được các parabol \(\left( {{P_1}} \right):x = {y^2} + 2y,\,\,\left( {{P_2}} \right):x = - {y^2} + 2y\) như hình bên:

TH1: \(x < - 1\):

Để mỗi số nguyên \(x\) có đúng 5 số nguyên \(y\) thoả mãn ycđb là \(y \in \left\{ { - 1;0;1;2;3} \right\}\) thì \( - 8 < x \le - 3\).

(trong đó: \( - 8 = g\left( 4 \right) = g\left( { - 2} \right),\,\, - 3 = g\left( 3 \right) = g\left( { - 1} \right)\))

\( \Rightarrow x \in \left\{ { - 7; - 6;...; - 3} \right\}\): 5 giá trị.

TH2: \(x > 1\):

Để mỗi số nguyên \(x\) có đúng 5 số nguyên \(y\) thoả mãn ycđb là \(y \in \left\{ { - 3; - 2; - 1;0;1} \right\}\) thì \(3 \le x < 8\).

(trong đó: \(8 = f\left( { - 4} \right) = f\left( 2 \right),3 = f\left( { - 3} \right) = f\left( 1 \right)\))

\( \Rightarrow x \in \left\{ {3;4;...;7} \right\}\): 5 giá trị.

TH3: \( - 1 \le x \le 1\):

Để mỗi số nguyên \(x\) có đúng 5 số nguyên \(y\) thoả mãn ycđb là \(y \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2} \right\}\) thì \(x = 0\).

Kết hợp 3 trường hợp, ta được 11 giá trị nguyên của \(x\) thỏa mãn ycđb.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.