Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = \sin x + x\cos x,\forall x \in

Câu hỏi số 571942:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm là \(f'\left( x \right) = \sin x + x\cos x,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( \pi \right) = 0\). Biết \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\) thoả mãn \(F\left( \pi \right) = 2\pi \), khi đó \(F\left( 0 \right)\) bằng

A. \(\pi \).

B. \( - 3\pi \).

C. \( - \pi \).

D. \(3\pi \).

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:571942

Phương pháp giải

\(f'\left( x \right) = g'\left( x \right) \Rightarrow f\left( x \right) = g\left( x \right) + C\).

Giải chi tiết

\(f'\left( x \right) = \sin x + x\cos x = {\left( {x\sin x} \right)^\prime },\forall x \in \mathbb{R} \Rightarrow f\left( x \right) = x\sin x + C\).

Mà \(f\left( \pi \right) = 0 \Rightarrow C = 0 \Rightarrow \)\(f\left( x \right) = x\sin x\).

Ta có: \(\int\limits_0^\pi {f\left( x \right)} dx = \int\limits_0^\pi {x\sin x} dx = F\left( \pi \right) - F\left( 0 \right)\) (do \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của \(f\left( x \right)\))

\(\begin{array}{l} \Rightarrow - \int\limits_0^\pi x d\left( {\cos x} \right) = 2\pi - F\left( 0 \right) \Leftrightarrow \left. { - x\cos x} \right|_0^\pi + \int\limits_0^\pi {\cos x} dx = 2\pi - F\left( 0 \right)\\ \Leftrightarrow \left. {\left( { - x\cos x + \sin x} \right)} \right|_0^\pi = 2\pi - F\left( 0 \right)\end{array}\).

\( \Leftrightarrow \left( {\pi + 0} \right) - \left( {0 + 0} \right) = 2\pi - F\left( 0 \right) \Leftrightarrow F\left( 0 \right) = \pi \).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.