Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) trên
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều, hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) trên mặt đáy là trung điểm \(H\) của cạnh \(AB\). Biết \(SH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\):
- Tìm giao tuyến \(\Delta \) của \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\).
- Xác định 1 mặt phẳng \(\left( \gamma \right) \bot \Delta \).
- Tìm các giao tuyến \(a = \left( \alpha \right) \cap \left( \gamma \right),b = \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right)\)
- Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right),\,\,\left( \beta \right)\): \(\left( {\left( \alpha \right);\left( \beta \right)} \right) = \left( {a;b} \right)\)
Kẻ \(AK \bot SC\). Do \(\Delta SAC = \Delta SBC\) nên \(BK \bot SC\).
\(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SC\,\, \Rightarrow \left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)} \right) = \left( {AK;BK} \right) = {90^0}\).
\( \Rightarrow \widehat {AKB} = {90^0}\).
Mà \(AK = BK\) (do \(\Delta SAC = \Delta SBC\)) \( \Rightarrow \Delta AKB\) vuông cân tại \(K\).
Giả sử tam giác \(ABC\) đều có cạnh bằng \(x\).
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}HC = \dfrac{{x\sqrt 3 }}{2}\\HK = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{x}{2}\end{array} \right.\).
\(\Delta SHC\) vuông tại \(H,\,\,HK \bot SC\) (do \(SC \bot \left( {AKB} \right)\))
\( \Rightarrow \dfrac{1}{{H{K^2}}} = \dfrac{1}{{S{H^2}}} + \dfrac{1}{{H{C^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\dfrac{{{x^2}}}{4}}} = \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{4}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{{3{x^2}}}{4}}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{8}{{3{x^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}}\)\( \Leftrightarrow {x^2} = 2{a^2} \Leftrightarrow x = a\sqrt 2 \).
\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow {V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SH.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{{a^3}}}{4}\).
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
