Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2mz + 8m - 12 = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) thoả mãn \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 4\)?

Câu 571948: Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} - 2mz + 8m - 12 = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của \(m\) để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({z_1},{z_2}\) thoả mãn \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 4\)?

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(3\).

D. \(4\).

Câu hỏi : 571948

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Chia 2 trường hợp: \(\Delta ' > 0,\,\,\Delta ' < 0\). Đánh giá \(m\) ở mỗi trường hợp.

Đáp án : A
(6) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét phương trình \({z^2} - 2mz + 8m - 12 = 0\) (*) có \(\Delta ' = {m^2} - 8m + 12\).
TH1: \(\Delta ' > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 6\\m < 2\end{array} \right.\):
Khi đó, phương trình (*) có 2 nghiệm thực phân biệt \({z_1},{z_2}\) thỏa mãn: \({z_1}{z_2} = 8m - 12,\,\,{z_1} + {z_2} = 2m\).
Mà \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 4 \Rightarrow {\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right)^2} = 16\)
\( \Leftrightarrow z_1^2 + 2\left| {{z_1}{z_2}} \right| + z_2^2 = 16\)
\( \Leftrightarrow {\left( {{z_1} + {z_2}} \right)^2} - 2{z_1}{z_2} + 2\left| {{z_1}{z_2}} \right| = 16\)
\( \Leftrightarrow {\left( {2m} \right)^2} - 2.\left( {8m - 12} \right) + 2\left| {8m - 12} \right| = 16\) (1)
Nếu \(m > 6\) thì (1) \( \Leftrightarrow 4{m^2} = 16 \Leftrightarrow m = \pm 2\): Loại.
Nếu \(m < 2\) thì (1) \( \Leftrightarrow 4{m^2} - 32m + 48 - 16 = 0 \Leftrightarrow {m^2} - 8m + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 4 + 2\sqrt 2 \,\,\left( {ktm} \right)\\m = 4 - 2\sqrt 2 \,\,\left( {tm} \right)\end{array} \right.\).
TH2: \(\Delta ' < 0 \Leftrightarrow 2 < m < 6\):
Khi đó, phương trình (*) có 2 nghiệm phức liên hợp \({z_1},{z_2}\) (không phải số thực): \({z_{1,2}} = m \pm i\sqrt { - {m^2} + 8m - 12} \).
\( \Rightarrow \left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \sqrt {{m^2} - {m^2} + 8m - 12} = \sqrt {8m - 12} \).
Mà \(\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| = 4 \Rightarrow 2\sqrt {8m - 12} = 4 \Leftrightarrow \sqrt {8m - 12} = 2 \Leftrightarrow m = 2\): Loại.
Vậy tồn tại đúng một giá trị của tham số \(m\) thỏa mãn ycđb là \(m = 4 - 2\sqrt 2 \).

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.