Cho đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có hai điểm cực trị là \(A\left( {0;3} \right)\) và \(B\left( {2; - 1} \right)\). Số nghiệm thực của phương trình \({4^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} - {2^{f\left( x \right) + f\left( {f\left( x \right)} \right)}} + {3.2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} = {3.2^{f\left( x \right)}}\) là

Câu 571949: Cho đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có hai điểm cực trị là \(A\left( {0;3} \right)\) và \(B\left( {2; - 1} \right)\). Số nghiệm thực của phương trình \({4^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} - {2^{f\left( x \right) + f\left( {f\left( x \right)} \right)}} + {3.2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} = {3.2^{f\left( x \right)}}\) là

A. \(7\).

B. \(6\).

C. \(3\).

D. \(9\).

Câu hỏi : 571949

Quảng cáo

Phương pháp giải:

Xác định phương trình của hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\).

Phân tích nhân tử, biến đổi phương trình \({4^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} - {2^{f\left( x \right) + f\left( {f\left( x \right)} \right)}} + {3.2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} = {3.2^{f\left( x \right)}}\).

Sử dụng đồ thị hàm số, kết luận số nghiệm của phương trình trên.

Đáp án : A
(2) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Xét hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).
Đồ thị hàm số \(f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có hai điểm cực trị là \(A\left( {0;3} \right)\) và \(B\left( {2; - 1} \right)\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( 0 \right) = 3\\f\left( 2 \right) = - 1\\f'\left( 0 \right) = 0\\f'\left( 2 \right) = 0\end{array} \right.\).
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\8a + 4b + 2c + d = - 1\\c = 0\\12a + 4b + c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 3\\2a + b = - 1\\c = 0\\3a + b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = - 3\\c = 0\\d = 3\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow f\left( x \right) = {x^3} - 3{x^2} + 3\).
Phương trình \({4^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} - {2^{f\left( x \right) + f\left( {f\left( x \right)} \right)}} + {3.2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} = {3.2^{f\left( x \right)}}\)
\( \Leftrightarrow {2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}}\left( {{2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} - {2^{f\left( x \right)}}} \right) + 3\left( {{2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} - {2^{f\left( x \right)}}} \right) = 0\)
\( \Leftrightarrow \left( {{2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} - {2^{f\left( x \right)}}} \right)\left( {{2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} + 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} - {2^{f\left( x \right)}} = 0\\{2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} + 3 = 0\,\,\left( {vo\,nghiem} \right)\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow {2^{f\left( {f\left( x \right)} \right)}} = {2^{f\left( x \right)}} \Leftrightarrow f\left( {f\left( x \right)} \right) = f\left( x \right)\). (1)
Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) cắt đường thẳng \(y = x\) tại 3 điểm có hoành độ là \( - 1;1;3\) (quan sát hình a) nên phương trình (1) \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}f\left( x \right) = - 1\\f\left( x \right) = 1\\f\left( x \right) = 3\end{array} \right.\).
Quan sát hình b, ta thấy:
+) Phương trình \(f\left( x \right) = - 1\) có 2 nghiệm phân biệt.
+) Phương trình \(f\left( x \right) = 1\) có 3 nghiệm phân biệt.
+) Phương trình \(f\left( x \right) = 3\) có 2 nghiệm phân biệt.
Các nghiệm của 3 phương trình trên là phân biệt với nhau.
\( \Rightarrow \) Phương trình đã cho có tất cả 7 nghiệm thực phân biệt.

Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
- Mẹo : Viết lời giải với bộ công thức đầy đủ tại đây

Xem bình luận

>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.